习题20二阶线性偏微分方程的分类.pdf

从给定的习题20二阶线性偏微分方程的分类中，我们可以深入探讨二阶线性偏微分方程的分类及其转换到规范形式的过程。这些方程根据其特征根的不同，可以分为三类：抛物型、双曲型和椭圆型。下面我们将针对每个给出的例子进行详细解析。 ### 第一个方程 \[ \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial xy} - 3\frac{\partial^2 u}{\partial y^2} + 2\frac{\partial u}{\partial x} + 6\frac{\partial u}{\partial y} = 0 \] 这个方程的系数为 \(a = 1, b = 1, c = -3, d = 2, e = 6, f = 0, g = 0\)。计算判别式 \(b^2 - 4ac = 4 > 0\)，表明该方程是双曲型的。通过求解特征线方程 \(3\frac{dy}{dx} = 0\) 和 \(-\frac{dy}{dx} = 0\)，我们得到特征线为 \(y - 3x = C_1\) 和 \(y + x = C_2\)。通过变换变量 \(\xi = y - 3x\) 和 \(\eta = y + x\)，方程被简化为 \(\frac{\partial^2 u}{\partial \xi \partial \eta} - \frac{1}{2}\frac{\partial u}{\partial \eta} = 0\)。 ### 第二个方程 \[ \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + 4\frac{\partial^2 u}{\partial xy} + 5\frac{\partial^2 u}{\partial y^2} + 2\frac{\partial u}{\partial x} + 2\frac{\partial u}{\partial y} = 0 \] 此方程的系数为 \(a = 1, b = 2, c = 5, d = 2, e = 2, f = 0, g = 0\)。计算判别式 \(b^2 - 4ac = -16 < 0\)，表明方程是椭圆型的。特征线方程 \(\frac{dy}{dx} = \pm i\) 的解为 \(y - ix = C_1\) 和 \(y + ix = C_2\)。通过变换 \(\xi = y - ix\) 和 \(\eta = y + ix\)，方程简化为 \(\frac{\partial^2 u}{\partial \xi \partial \eta} - i\frac{\partial u}{\partial \eta} = 0\)。 ### 第三个方程 \[ \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + 2\frac{\partial u}{\partial y} = 0 \] 系数为 \(a = 1, b = 0, c = 1, d = 0, e = 2, f = 0, g = 0\)。判别式 \(b^2 - 4ac = -4\)，因此，方程类型依赖于 \(y\) 的值。当 \(y > 0\) 时，方程是椭圆型；当 \(y < 0\) 时，方程是双曲型。对于 \(y < 0\)，特征线为 \(y - \sqrt{-y}x = C_1\) 和 \(y + \sqrt{-y}x = C_2\)；对于 \(y > 0\)，特征线为 \(y - i\sqrt{y}x = C_1\) 和 \(y + i\sqrt{y}x = C_2\)。 ### 第四个方程 \[ \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} + 2x\frac{\partial u}{\partial x} + 2y\frac{\partial u}{\partial y} + (x^2 + y^2)u = 0 \] 系数为 \(a = 1 + x^2, b = 0, c = 1 + y^2, d = 2x, e = 2y, f = 0, g = x^2 + y^2\)。判别式 \(b^2 - 4ac = -(4 + 4x^2 + 4y^2) < 0\)，表明方程总是椭圆型的。由于 \(x\) 和 \(y\) 的存在使得方程的特征线和转换较为复杂，但其基本思路与前面的椭圆型方程相同。 通过以上分析，我们可以看到，通过适当的选择变量变换，可以将复杂的二阶线性偏微分方程转换为更简单的形式，从而有助于理解和解决实际问题中的物理或工程问题。这种转换不仅简化了方程的形式，也揭示了方程的内在性质，如双曲型、椭圆型或抛物型，这对于应用数学和物理学的许多领域都具有重要意义。