人教A版数学必修一3.1.2《用二分法求方程的近似解》课时作业[定义].pdf

二分法是一种数值分析中的搜索算法，用于求解方程的近似根，特别是当方程无法通过代数方法解析求解时。该方法适用于连续函数，在给定区间内如果函数值在区间的两个端点处异号，那么在该区间内必然存在至少一个零点。以下是关于二分法的一些关键知识点： 1. **基本思想**：二分法的基本思路是将包含零点的区间不断减半，每次选取区间的中点计算函数值，如果中点的函数值与区间端点之一的函数值异号，则零点存在于中点与相应端点之间；如果中点函数值为零，那么中点就是零点。重复此过程，直到区间长度小于预设的精度要求。 2. **应用条件**：二分法适用于函数在搜索区间内连续，并且在该区间至少有一个零点。如果函数单调，那么零点是唯一的。在题目中，第2题中提到的函数2x+2^x-10是单调增函数，因此它只有一个零点，可以使用二分法求解。 3. **计算步骤**： - 选择包含零点的初始区间[a, b]，要求f(a) * f(b) < 0。 - 计算中点c = (a + b) / 2。 - 如果f(c) = 0，那么c就是零点。 - 如果f(a) * f(c) < 0，更新区间为[a, c]；否则，更新区间为[c, b]。 - 重复上述步骤，直至区间长度小于精度ε。 4. **零点个数判断**：对于给定函数y=f(x)的图像，零点的个数等于函数与x轴交点的个数。若函数在区间内连续，且在每个交点两侧的函数值异号，那么二分法可以找到这些交点对应的零点。 5. **精度要求**：在题目中，第4题和第5题涉及到精确度要求，例如精确度为0.01，这意味着我们需要找到一个使函数值绝对值小于0.01的区间作为零点的近似解。第5题中，计算了需要进行多少次二分才能达到0.01的精度，这可以通过考虑区间长度与精度的关系来确定。 6. **实际应用**：第6题和第7题展示了如何实际运用二分法。在第7题中，我们证明了函数f(x) = 2x + 3x - 6在(1, 2)内有一个唯一零点，并使用二分法找到了精确度为0.1的近似解。 7. **迭代次数**：对于给定的初始区间长度，二分法每次迭代都会将区间长度减半。第5题中，为了使区间长度小于0.01，需要进行2^n次二分，其中n满足1/2^n < 0.01，解得n >= 7，因此至少需要7次二分。 8. **可能的区间变化**：在第8题中，讨论了每次迭代后可能出现的区间，这取决于前一次迭代的结果。在第一次迭代后，区间可能会被分为两半，因此第三次迭代可能取的是前两次迭代中任意一个子区间的子集。 9. **不可用二分法的情况**：第9题提到，当函数f(x) = x^2 + ax + b的图象与x轴相切时，无法使用二分法求解，因为这意味着函数在切点处没有连续的导数，导致函数值在切点两边符号不变。 10. **计算机辅助求解**：在第10题中，利用计算器或图形工具，结合函数y=lg x和y=2-x的图象，可以判断解的存在性并使用二分法的变种（比如黄金分割法）寻找近似解。 二分法是一种实用的数值计算技巧，尤其在处理连续函数的零点问题时，它能提供有效且可靠的近似解。在实际应用中，需要根据具体问题选择合适的初始区间，并确保函数的连续性和单调性。