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解线性方程组的迭代法-计算方法大作业.pdf
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解线性方程组的迭代法
1.1
方法概述
对于线性方程组
Ax=b
,其中
A
为非奇异矩阵,当
A
为大型稀疏
矩阵时,考虑用迭代法求解上述方程组,其基本思想是求不动点
X
(
k
1)
BX
(
k
)
f
,
即构造一个向量系列
X
n
,
使其收敛至某个极限
X
*
,
则
X
*
就是要求的方程组的准确解。这儿主要介绍
Jacobi
迭代法和
Gauss-Seidel
迭代法的算法理论及数值实验。
1
)
Jacobi
迭代法算法概述
Jacobi
迭代法推导过程为将方程组:
a
11
x
1
a
12
x
2
a
1
n
x
n
b
1
a
x
a
x
a
x
b
21
1
22
2
2
n
n
2
(
1
)
a
n
1
x
1
a
n
2
x
2
a
nn
x
n
b
n
在假设
a
ii
0
下,改写成
x
1
b
12
x
2
b
13
x
3
b
1
n
x
n
g
1
x
b
x
b
x
b
x
g
2
21
1
23
3
2
n
n
2
(
2)
x
n
b
n
1
x
1
b
n
2
x
2
b
n
n
1
x
n
1
g
n
如果引用系数矩阵
a
11
a
1
n
A
a
n
1
a
nn
0
b
1
n
B
b
n
1
0
,
x
1
b
1
g
1
及向量
X
,
b
,
g
,
g
n
x
n
b
n
方程组
(
1
)
和
(
2
)
分别可写为:
AX
b
及
X
BX
g
,
这样得到了
jacobi
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