《计算方法》课内实验主要关注的是解线性方程组的直接方法和迭代法，这两者是数值计算中的核心内容。线性方程组在科学计算、工程问题以及数据分析等领域有着广泛的应用。
1. 直接方法：实验中提到了LU分解法和列主元高斯消去法。LU分解法是将系数矩阵A分解为单位下三角矩阵L和上三角矩阵U的乘积，即A=LU，然后通过解两个简单的三角形方程组求解原问题。列主元高斯消去法则是在进行行变换时选择最大元素作为主元，以提高数值稳定性，避免出现接近于零的分母，同样最终得到LU分解的形式。
2. 迭代法：实验中涉及到的迭代法包括雅可比迭代法和SOR（Successive Over-Relaxation）迭代法。这两种方法主要用于求解大型稀疏线性方程组，它们通过不断地更新解向量，逐渐逼近真实解。雅可比迭代法基于对角占优的假设，而SOR法则引入了松弛因子ω，能够加速收敛速度。
3. 数值稳定性和误差分析：实验要求比较不同方法的收敛速度和误差分析。这涉及到计算过程中数值稳定性的问题，例如在进行浮点运算时，由于舍入误差，可能导致计算结果与理论值有偏差。误差分析通常包括绝对误差和相对误差，以及条件数cond(A)，条件数越大，表示线性方程组对初始解的敏感性越强，解的计算也更不稳定。
4. 特征值和行列式：实验中还要求计算矩阵A的行列式det(A)以及所有特征值，这对于理解和分析矩阵的性质至关重要。行列式可以反映矩阵是否可逆，而特征值则揭示了矩阵的缩放、旋转等特性。
5. 线性方程组解的相对误差分析：当矩阵A和b发生微小变化时，解x也会有相应的变化。实验通过计算(A+δA)(x+δx)=b，来探讨解的相对误差δx2/x2与矩阵A的相对误差δA2/A2之间的关系，这有助于理解解的稳定性以及计算误差的传播。
6. 希尔伯特矩阵：希尔伯特矩阵是一种特殊的对称正定矩阵，其元素hij=1/(i+j-1)，实验中使用希尔伯特矩阵构建线性方程组，目的是考察不同迭代方法在特定矩阵结构下的表现。
实验报告中还包括了MATLAB编程实践，通过编写和运行数值计算程序，学生能够加深对理论知识的理解，提升实际操作技能。实验结果部分应当包含了计算过程、输出结果以及对比分析，这些内容可以帮助学生评估各种方法的效率和适用性，并形成自己的实验体会和解决问题的能力。
