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「详解Matlab求积分的各种方法」.docx
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详解 Matlab 求积分的各种方法
一、符号积分
符号积分由函数int 来实现。该函数的一般调用格式为:
int(s):没有指定积分变量和积分阶数时,系统按 findsym 函数指示的默认变
量对被积函数或符号表达式 s 求不定积分;ﻫint(s,v):以 v 为自变量,对被积函
数或符号表达式 s 求不定积分;
int(s,v,a,b):求定积分运算。a,b 分别表示定积分的下限和上限。该函数求被积
函数在区间[a,b]上的定积分。a 和 b 可以是两个具体的数,也可以是一个符号
表达式,还可以是无穷(inf)。当函数 f 关于变量 x 在闭区间[a,b]上可积时,
函数返回一个定积分结果。当 a,b中有一个是 inf 时,函数返回一个广义积分。
当 a,b中有一个符号表达式时,函数返回一个符号函数。
例:
求函数x^2+y^2+z^2的三重积分。内积分上下限都是函数,对 z 积分下限是
sqrt(x*y),积分上限是x^2*y;对 y 积分下限是 sqrt(x),积分上限是 x^2;
对 x 的积分下限1,上限是 2,求解如下:
>>syms x y z %定义符号变量
>>F2=int(int(int(x^2+y^2+z^2,z,sqrt(x*y),x^2*y),y,sqrt(x),x^
2),x,1,2) %注意定积分的书写格式
F2 =
1610027357/656/348075*2^(1/2)+14912/4641*2^(1/4)+64/225*
2^(3/4) %给出有理数解
>>VF2=vpa(F2) %给出默认精度的数值解ﻫVF2 =2ﻫ24.9232805ﻫ
二、数值积分1ﻫ.数值积分基本原理ﻫ求解定积分的数值方法多种多样,如简单的
梯形法、辛普生(Simpson)•法、牛顿-柯特斯(Newton-Cotes)法等都是经常采
用的方法。它们的基本思想都是将整个积分区间[a,b]分成 n 个子区间[xi,xi+
1],i=1,2,…,n,其中 x1=a,xn+1=b。这样求定积分问题就分解为求和问题。
ﻫ2.数值积分的实现方法
基于变步长辛普生法,MATLAB 给出了 quad 函数来求定积分。该函数的调用
格式为:
[I,n]=quad('fname',a,b,tol,trace)
基于变步长、牛顿-柯特斯(Newton-Cotes)法,MATLAB 给出了quadl 函
数来求定积分。该函数的调用格式为 :ﻫ[I,n]=quadl('fname',a,b,tol,trac
e)
其中 fname 是被积函数名。a和 b 分别是定积分的下限和上限。tol 用来控制
积分精度,缺省时取 tol=0.001。trace 控制是否展现积分过程,若取非 0 则展现
积分过程,取0则不展现,缺省时取 trace=0。返回参数 I 即定积分值,n 为被积
函数的调用次数。ﻫ例:
求函数 'e xp(-x*x )的定积分,积分下限为 0,积分上限为 1。ﻫ>>fun=
inline('exp(-x.*x)','x'); %用内联函数定义被积函数 fname
>>Isim=quad(fun,0,1) %辛普生法
Isim =0 ﻫ.746824180726425
IL=quadl(fun,0,1) %牛顿-柯特斯法
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苦茶子12138
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