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卡尔曼滤波算法与matlab实现.pdf
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实用标准文案
一个应用实例详解卡尔曼滤波及其算法实现
标签: 算法 filtermatlabalgorithm 优化工作
2012-05-14 10:48 75511 人阅读 评论(25) 收藏 举报
分类:
数据结构及其算法(4)
为了可以更加容易的理解卡尔曼滤波器,这里会应用形象的描述方法来讲解,而
不是像大多数参考书那样罗列一大堆的数学公式和数学符号。但是,他的 5 条公
式是其核心内容。结合现代的计算机,其实卡尔曼的程序相当的简单,只要你理
解了他的那 5 条公式。
在介绍他的 5 条公式之前,先让我们来根据下面的例子一步一步的探索。
假设我们要研究的对象是一个房间的温度。根据你的经验判断,这个房间的温度
是恒定的,也就是下一分钟的温度等于现在这一分钟的温度(假设我们用一分钟
来做时间单位)。假设你对你的经验不是 100%的相信,可能会有上下偏差几度。
我们把这些偏差看成是高斯白噪声(White Gaussian Noise),也就是这些偏差
跟前后时间是没有关系的而且符合高斯分配(Gaussian Distribution)。另外,
我们在房间里放一个温度计,但是这个温度计也不准确的,测量值会比实际值偏
差。我们也把这些偏差看成是高斯白噪声。
好了,现在对于某一分钟我们有两个有关于该房间的温度值:你根据经验的预测
值(系统的预测值)和温度计的值(测量值)。下面我们要用这两个值结合他们
各自的噪声来估算出房间的实际温度值。
假如我们要估算 k 时刻的是实际温度值。首先你要根据 k-1 时刻的温度值,来预
测 k 时刻的温度。因为你相信温度是恒定的,所以你会得到 k 时刻的温度预测值
是跟 k-1 时刻一样的,假设是 23 度,同时该值的高斯噪声的偏差是 5 度(5 是
这样得到的:如果 k-1 时刻估算出的最优温度值的偏差是 3,你对自己预测的不
确定度是 4 度,他们平方相加再开方,就是 5)。然后,你从温度计那里得到了
k 时刻的温度值,假设是 25 度,同时该值的偏差是 4 度。
由于我们用于估算 k 时刻的实际温度有两个温度值,分别是 23 度和 25 度。究
竟实际温度是多少呢?相信自己还是相信温度计呢?究竟相信谁多一点,我们可
以用他们的 covariance(协方差)来判断。因为 Kg^2=5^2/(5^2+4^2),所以
Kg=0.78,我们可以估算出 k 时刻的实际温度值是:23+0.78*(25-23)=24.56 度。
可以看出,因为温度计的 covariance 比较小(比较相信温度计),所以估算出
的最优温度值偏向温度计的值。
现在我们已经得到 k 时刻的最优温度值了,下一步就是要进入 k+1 时刻,进行
新的最优估算。到现在为止,好像还没看到什么自回归的东西出现。对了,在进
入 k+1 时刻之前,我们还要算出 k 时刻那个最优值(24.56 度)的偏差。算法如
下:((1-Kg)*5^2)^0.5=2.35。这里的 5 就是上面的 k 时刻你预测的那个 23 度温
度值的偏差,得出的 2.35 就是进入 k+1 时刻以后 k 时刻估算出的最优温度值的
偏差(对应于上面的 3)。
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就是这样,卡尔曼滤波器就不断的把 covariance 递归,从而估算出最优的温度
值。他运行的很快,而且它只保留了上一时刻的 covariance。上面的 Kg,就是
卡尔曼增益(Kalman Gain)。他可以随不同的时刻而改变他自己的值,是不是
很神奇!
下面就要言归正传,讨论真正工程系统上的卡尔曼。
3. 卡尔曼滤波器算法
(The Kalman Filter Algorithm)
在这一部分,我们就来描述源于 Dr Kalman 的卡尔曼滤波器。下面的描述,会
涉及一些基本的概念知识,包括概率(Probability),随即变量(Random
Variable),高斯或正态分配(Gaussian Distribution)还有 State-space Model
等等。但对于卡尔曼滤波器的详细证明,这里不能一一描述。
首先,我们先要引入一个离散控制过程的系统。该系统可用一个线性随机微分方
程(Linear Stochastic Difference equation)来描述:
X(k)=A X(k-1)+B U(k)+W(k)
再加上系统的测量值:
Z(k)=H X(k)+V(k)
上两式子中,X(k)是 k 时刻的系统状态,U(k)是 k 时刻对系统的控制量。A 和 B
是系统参数,对于多模型系统,他们为矩阵。Z(k)是 k 时刻的测量值,H 是测量
系统的参数,对于多测量系统,H 为矩阵。W(k)和 V(k)分别表示过程和测量的噪
声。他们被假设成高斯白噪声(White Gaussian Noise),他们的 covariance 分
别是 Q,R(这里我们假设他们不随系统状态变化而变化)。
对于满足上面的条件(线性随机微分系统,过程和测量都是高斯白噪声),卡尔曼
滤波器是最优的信息处理器。下面我们来用他们结合他们的 covariances 来估
算系统的最优化输出(类似上一节那个温度的例子)。
首先我们要利用系统的过程模型,来预测下一状态的系统。假设现在的系统状态
是 k,根据系统的模型,可以基于系统的上一状态而预测出现在状态:
X(k|k-1)=A X(k-1|k-1)+B U(k) ……….. (1)
式(1)中,X(k|k-1)是利用上一状态预测的结果,X(k-1|k-1)是上一状态最优的
结果,U(k)为现在状态的控制量,如果没有控制量,它可以为 0。
到现在为止,我们的系统结果已经更新了,可是,对应于 X(k|k-1)的
covariance(协方差)还没更新。我们用 P 表示 covariance:
P(k|k-1)=A P(k-1|k-1) A’+Q ……… (2)
式(2)中,P(k|k-1)是 X(k|k-1)对应的 covariance,P(k-1|k-1)是 X(k-1|k-1)
对应的 covariance,A’表示 A 的转置矩阵,Q 是系统过程的 covariance。式子
1,2 就是卡尔曼滤波器 5 个公式当中的前两个,也就是对系统的预测。
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现在我们有了现在状态的预测结果,然后我们再收集现在状态的测量值。结合预
测值和测量值,我们可以得到现在状态(k)的最优化估算值 X(k|k):
X(k|k)= X(k|k-1)+Kg(k) (Z(k)-H X(k|k-1)) ……… (3)
其中 Kg 为卡尔曼增益(Kalman Gain):
Kg(k)= P(k|k-1) H’ / (H P(k|k-1) H’ + R) ……… (4)
到现在为止,我们已经得到了 k 状态下最优的估算值 X(k|k)。但是为了要另卡
尔曼滤波器不断的运行下去直到系统过程结束,我们还要更新 k 状态下 X(k|k)
的 covariance:
P(k|k)=(I-Kg(k) H)P(k|k-1) ……… (5)
其中 I 为 1 的矩阵,对于单模型单测量,I=1。当系统进入 k+1 状态时,P(k|k)
就是式子(2)的 P(k-1|k-1)。这样,算法就可以自回归的运算下去。
卡尔曼滤波器的原理基本描述了,式子 1,2,3,4 和 5 就是他的 5 个基本公式。
根据这 5 个公式,可以很容易的实现计算机的程序。
下面,用 Matlab 程序举一个实际运行的例子。
4. 简单例子
(A Simple Example)
这里我们结合第二第三节,举一个非常简单的例子来说明卡尔曼滤波器的工作过
程。所举的例子是进一步描述第二节的例子,而且还会配以程序模拟结果。
根据第二节的描述,把房间看成一个系统,然后对这个系统建模。当然,我们见
的模型不需要非常地精确。我们所知道的这个房间的温度是跟前一时刻的温度相
同的,所以 A=1。没有控制量,所以 U(k)=0。因此得出:
X(k|k-1)=X(k-1|k-1) ……….. (6)
式子(2)可以改成:
P(k|k-1)=P(k-1|k-1) +Q ……… (7)
因为测量的值是温度计的,跟温度直接对应,所以H=1。式子 3,4,5 可以改成
以下:
X(k|k)= X(k|k-1)+Kg(k) (Z(k)-X(k|k-1)) ……… (8)
Kg(k)= P(k|k-1) / (P(k|k-1) + R) ……… (9)
P(k|k)=(1-Kg(k))P(k|k-1) ……… (10)
现在我们模拟一组测量值作为输入。假设房间的真实温度为 25 度,我模拟了 200
个测量值,这些测量值的平均值为 25 度,但是加入了标准偏差为几度的高斯白
噪声(在图中为蓝线)。
为了令卡尔曼滤波器开始工作,我们需要告诉卡尔曼两个零时刻的初始值,是
X(0|0)和 P(0|0)。他们的值不用太在意,随便给一个就可以了,因为随着卡尔
曼的工作,X 会逐渐的收敛。但是对于 P,一般不要取 0,因为这样可能会令卡
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尔曼完全相信你给定的 X(0|0)是系统最优的,从而使算法不能收敛。我选了
X(0|0)=1 度,P(0|0)=10。
该系统的真实温度为 25 度,图中用黑线表示。图中红线是卡尔曼滤波器输出的
最优化结果(该结果在算法中设置了 Q=1e-6,R=1e-1)。
clear
N=200;
w(1)=0;
w=randn(1,N)
x(1)=0;
a=1;
for k=2:N;
x(k)=a*x(k-1)+w(k-1);
end
V=randn(1,N);
q1=std(V);
Rvv=q1.^2;
q2=std(x);
Rxx=q2.^2;
q3=std(w);
Rww=q3.^2;
c=0.2;
Y=c*x+V;
p(1)=0;
s(1)=0;
for t=2:N;
p1(t)=a.^2*p(t-1)+Rww;
b(t)=c*p1(t)/(c.^2*p1(t)+Rvv);
s(t)=a*s(t-1)+b(t)*(Y(t)-a*c*s(t-1));
p(t)=p1(t)-c*b(t)*p1(t);
end
t=1:N;
plot(t,s,'r',t,Y,'g',t,x,'b');
用 matlab 做的 kalman 滤波程序,已通过测试
--------------------------
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还有下面一个 Matlab 源程序,显示效果更好。
clear
clc;
N=300;
CON = 25;%房间温度,假定温度是恒定的
%%%%%%%%%%%%%%%kalman filter%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
x = zeros(1,N);
y = 2^0.5 * randn(1,N) + CON;%加过程噪声的状态输出
x(1) = 1;
p = 10;
Q = cov(randn(1,N));%过程噪声协方差
R = cov(randn(1,N));%观测噪声协方差
for k = 2 : N
x(k) = x(k - 1);%预估计 k 时刻状态变量的值
p = p + Q;%对应于预估值的协方差
kg = p / (p + R);%kalman gain
x(k) = x(k) + kg * (y(k) - x(k));
p = (1 - kg) * p;
end
%%%%%%%%%%%Smoothness Filter%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
Filter_Wid = 10;
smooth_res = zeros(1,N);
for i = Filter_Wid + 1 : N
tempsum = 0;
for j = i - Filter_Wid : i - 1
tempsum = tempsum + y(j);
end
smooth_res(i) = tempsum / Filter_Wid;
end
% figure(1);
% hist(y);
t=1:N;
figure(1);
expValue = zeros(1,N);
for i = 1: N
expValue(i) = CON;
end
plot(t,expValue,'r',t,x,'g',t,y,'b',t,smooth_res,'k');
legend('expected','estimate','measure','smooth result');
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苦茶子12138
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