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python 求一元函数极小值-第7章 函数的极小值.pdf
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第 7 章 一元函数极小值
7.1 最优化方法简介
一、最优化方法
在给定条件下,尽你尽你力所能及地得出最好的解的方法称为最优化方法。
最优化方法解决问题的一般步骤是:
1. 构造一个数学模型 Q = f ( x1,x2,x3,..... xn)
应确保构造的模型有极小值。
2. 找出使 Q 最小的自变量 x1,x2, ..., xn .
如果 自变量只有一个, 即 Q = f( x ) , 则此时称为一元函数的最优化。下面我们只讨
论一元函数的最优化问题。
二、求解一元函数最优化问题的求导数方法
如果 f(x) 可以写出解析式,并且可以求导数,
设 x* 处是极化小值,则有
f'(x*)=0
f''( x* ) < 0
遗憾的是现实中, 我们导出的数据模型,很难求导数。
三、求解一元函数最优化问题的搜索方法
求解一元函数最优化问题的搜索方法分为全面搜索法和逐步搜索法。
如果要求解 "对于 f(x) 在区间 [a,b] 上的极小点 x* ", 要求相对精度 ε=10E-5 则:
| x 计算 - x* | < ε ( |x 计算|+|x*| )
我们此处仅介绍全面搜索法。
全面搜索法(也叫迈步法)
![](https://csdnimg.cn/release/download_crawler_static/22695093/bg2.jpg)
全面搜索法的计算方案:
(1) 将区间 [a,b] 分成 n 等份,每份长度 dx=(b-a)/n 在每个分点上计算函
数值,可以知道函数在哪个分点上的值最小,设为 Xmin。
(2) 新的求解区间为 [Xm-dx, Xm+dx],记为[ a1, b1 ]
(3) 如果 a1 与 b1 很接近,即满足
| a1 - b1 | < ε ( |a1|+|b1| )
则:
我们要找的最小点是( Xm, f(Xm) ),结束搜索。
否则:
令 a=a1; b = b1 转(1)
在海湾战争中,美军曾使用地毯式轰炸,就是一种二维迈步法,又称网格法,亦称拉网法。
迈步法是搜索法中最基本的方法,它非常有效,缺点是计算量大了一点。在量子化学计算中,
Xα计算方法就使用了这种方法( 我是从它的打印计算结果中分析出来的)。
![](https://csdnimg.cn/release/download_crawler_static/22695093/bg3.jpg)
例 1 : 求函数
f (x) (x 3)
2
10
的极小点。
#coding=gbk
# 迈步法求函数 f(x) 在[a,b]的极小点
#入口 :
# f 模型函数
# a,b 待优化参数的起始区间 [a,b]
def maibu( f , a , b ):
n = 20
while True:
dx = (b-a)/n
xmin = a
fmin = f(xmin)
for i in range(1,n+1):
xi = a+dx*i
fi = f(xi)
if fi<fmin:
fmin = fi
xmin = xi
a= xmin - dx
b= xmin + dx
if abs(b-a)<= 1E-5 *(abs(a)+abs(b) ):
return (a+b)/2
def f( x ):
return (x-3)**2+10
xp =maibu(f, -1000,1000)
print("极小值点:(",xp,",",f(xp),")")
极小值点:( 3.0 , 10.0 )
![](https://csdnimg.cn/release/download_crawler_static/22695093/bg4.jpg)
7.2 求一元弱酸的 pH 值
在分析化学中,我们已经学习过一元弱酸溶液的 pH 值的近似公式。
[H
] k
1
C
在这里,我们试着用求极小值的方法去求解“精确”解,即不作近似。
H
2
O
HA
电荷平衡:
kw
H
OH
k1
H A
H
A
OH
根据分布系数知:
k1
[ A ] C
HA
*
[H ] k1
所以:
k1 kw
[H ] C
HA
*
..........(1)
[H ] k1 [H ]
要想直解求解方程(2)有点困难。
我们构造模型函数:
k1 kw
Q f ([H
],C
HA
,k1,kw)
[H ] C *
HA
[H
] k1 [H
]
.........(2)
将求解方程(2)的问题转化为求使用 Q 最小的[H
+
] ,即问题转化为求一元函数极小值
的问题。说明:(2)式中 C
HA
, k1, kw 均为常数。
2
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