【打靶法与有限差分法在微分方程组边值问题中的应用】
打靶法和有限差分法是解决微分方程组边值问题的两种数值算法。在航天工程，如登月器轨道控制等场景中，这类问题尤为关键。本实验旨在让学生深入理解和掌握这两种方法，并通过编程实现。
### 打靶法
打靶法主要用于求解线性边值问题。假设有一个二阶线性微分方程：
\[ \frac{d^2y}{dx^2} + p(x)\frac{dy}{dx} + q(x)y = f(x), \quad x \in [a, b] \]
带有边界条件：
\[ y(a) = \alpha, \quad y(b) = \beta \]
打靶法的核心是构建两个二阶初值问题，寻找一个线性组合 \( y(x) = y_1(x) + y_2(x) \)，其中 \( y_1 \) 和 \( y_2 \) 分别是这两个初值问题的解。问题（2）和（3）分别如下：
1. \[ \frac{d^2y_1}{dx^2} + p(x)\frac{dy_1}{dx} + q(x)y_1 = f(x), \quad y_1(a) = \alpha, \quad y'_1(a) = 0 \]
2. \[ \frac{d^2y_2}{dx^2} + p(x)\frac{dy_2}{dx} + q(x)y_2 = 0, \quad y_2(a) = 0, \quad y'_2(b) = -\beta \]
在MATLAB中，可以使用数值方法（如ode45）求解这两个初值问题，然后将结果相加得到边值问题的解。
### 有限差分法
有限差分法是基于离散化的思想，将连续区域用网格点表示，连续函数近似为在这些点上的离散函数。微分被差分代替，积分被积分和近似，形成一个代数方程组，即有限差分方程组。解这个方程组得到的是离散解，再通过插值方法获得整个区域的近似解。
例如，对于一个微分方程 \( \frac{dy}{dx} = f(x,y) \)，可以用向前差分近似：
\[ \frac{y_{i+1}-y_i}{h} \approx f(x_i, y_i) \]
其中 \( h \) 是步长，\( x_i \) 和 \( y_i \) 是离散点。
在实验中，学生需要用MATLAB或其他编程语言实现打靶法和有限差分法，并解决实际的航天动力学问题，如登月器的轨道控制和减速策略优化。
### 减速策略优化
登月器的减速问题是一个带约束的优化问题。初始状态下，登月器在椭圆轨道上，需要通过控制推力 \( F \) 使其机械能减至零。根据牛顿第二定律，推力对机械能的影响可以通过数值积分来计算。优化目标是找到最小化燃料消耗的减速策略，同时满足推力不超过7500N的限制。MATLAB中的优化函数fmincon可用于寻找最佳减速方案。
### 误差分析
误差来源包括地球引力、月球环绕地球的向心加速度、太阳引力、速度和角度测量误差以及控制推力的误差。通过模拟这些扰动并使用卡尔曼滤波器校正，可以评估和减少这些误差对结果的影响。
### 实验要求
学生需要使用MATLAB或其他编程语言编写程序，实现打靶法和有限差分法，解决实际的微分方程组边值问题，同时进行误差分析和优化策略计算，以提升对数值计算方法的理解和应用能力。
