浅析二分法及其 Matlab 和 C 程序实现
第一部分:二分法浅析
用二分法求方程的近似解是紧跟在“函数的零点”之后的教学内容。从联系的角度看,
前面一节,学生已经学习了方程的根与函数的零点之间存在着对立统一的关系,这一节
则是介绍一种具体的方法来运用这一关系解决问题。
从整个教材来分析,这一部分的内容是在“函数的应用”这一大章节之下。新课程标
准中强调函数的应用性,这里包括两个方面:一方面是函数在生活实践中的应用,函数
建模等内容属于这个范畴;另一方面则是函数在数学自身范围内的应用,“二分法”即
是其中的代表。
基于以上的分析,笔者给出了以下的一些教学建议,与读者朋友们分享。
一、 为什么要用二分法
就通过试验缩小搜索区间来讲,试验点不一定取中点,取其他的点也可以,那么为什
么取中点呢?
下面以搜索区间为[0,1]的情况作讨论。
一种对所有搜索区间为[0,1]的方程 f(x) = 0 都适用的方法,即对集合 G={f(x)=0,
f(x)连续,且 f(0)·f(1) < 0} 中的所有方程都适用的方法. 一个合理的假设是:G 中所
有方程 f(x)= 0 的根在[0,1]上均匀分布. 设试验点是 c,那么 c 将[0,1]分成[0,c]和[c,
1]两部分,它们的长度分别是 c 和 1-c. 由假设,通过试验保留的搜索区间是[0,c](即
方程 f(x)=0 的根在[0,c]中)的概率是 c,通过试验保留的搜索区间是[c,1]的概率是 1-c.
因此,通过一次试验保留的搜索区间的期望长度为 c
2
+ (1 -c)
2
= 2c
2
- 2c+ 1=2(c- )
2
+ ,
容易看出,当 c= 的时候,通过一次试验保留的搜索区间的期望长度最小。这就是取中
点作为试验点的原因。
二、引入方法
方法 1:已知商店里一件商品的利润 y 与它的价格 x 之间满足函数关系 y=x2-4x+3,
请画出这个函数的图像,并思考当价格为多少元的时候商店不盈也不亏.
方法 2:创设问题情景:蹦极运动. 设下落的时间 t 秒. 人离开参照点“礁石尖端”的
位移为 S(S=0 表示人在礁石点处,向下取负,向上取正),开始下落时,时间 t=0,在 t
∈[4,6]时的变化如下表:
1