1. 分形中的曼德博集(Mandelbrot Set)
Cantor三分集(Cantor Set)是一个被广泛研究的分形,由德国数学家乔治·康托(Georg Cantor)
于 19 世纪末首次描述。它是通过对实数线段进行无限次迭代生成的一个点集。
生成 Cantor 三分集的步骤如下:
开始时,取实数线上的单位区间[0,1]。
在每个迭代步骤中,将每个线段分为三个等长的段,然后删除中间的那个段。
对剩下的每个线段重复进行步骤 2。
在无穷多次迭代后,剩下的点集就是 Cantor 三分集。
Cantor 三分集有一些有趣的性质:
它是一个无处稠密的集合,也就是说,它在任何区间内都是稀疏的。尽管我们进行了无穷多
次迭代,但是 Cantor 三分集的总长度仍然是 0。
尽管 Cantor 三分集可能看起来只包含了无穷多个孤立的点,但实际上它是一个非空的、完
全的集合。这是因为在每次迭代中,所有的端点都被保留下来了,而这些端点在所有的迭代
中会累积成一个连续的集合。
Cantor 三分集是一个自相似的集合,也就是说,如果你放大 Cantor 三分集的任何一部分,
你会看到和原始集合相同的结构。这是分形的一个重要特性。
Cantor 三分集的分形维度可以通过以下公式计算:
D = log(2) / log(3)
这里,D 表示分形维度,log 表示自然对数。Cantor 三分集的分形维度约为 0.631,这表明
它比一维线段复杂,但却没有达到二维平面的复杂性。
2.MATLAB 代码
clear all;clc;close all;
n=10;% 迭代次数
% n is the number of iterations
% Initialize the figure
figure;
axis([0, 1, 0, n+1])
set(gca, 'YTick', [], 'XTick', []);
% Call recursive function