从给定的“matlab lingo练习题”中，我们可以提炼出多个IT及数学建模相关的知识点，涉及Matlab和Lingo软件的应用、数学分析、数值计算、优化问题解决等多方面内容。以下是对这些知识点的详细阐述：
### 1. 数值积分
题目要求求解特定积分的数值解，这涉及到数值积分方法，如辛普森法则、梯形法则或更高级的龙贝格积分法。在Matlab中，可以使用`integral`或`quad`等内置函数来实现。
### 2. 函数图形绘制
题目要求绘制给定函数的图形，这是Matlab中的基本操作之一，主要通过`plot`或`fplot`函数实现。此外，对于三维图形，如题目中的旋转单叶双曲面、马鞍面等，可以使用`surf`或`mesh`函数进行绘制。
### 3. 旋转体体积计算
计算由函数绕轴旋转形成的旋转体体积，这通常涉及到积分计算。在Matlab中，可以先使用`revolve`函数生成旋转体模型，再结合积分计算体积。
### 4. 隐函数图形绘制
绘制隐函数图形，如题目中的隐函数，需要用到Matlab的`contour`或`ezplot`函数，尤其是当函数关系复杂，无法直接表达为y=f(x)形式时。
### 5. 导数与差分计算
求解函数的高阶导数和向量的向前差分，可以使用Matlab的符号计算工具箱，通过`diff`函数直接计算。向前差分则可以通过简单的矩阵运算实现。
### 6. 非线性方程组求解
解决非线性方程组问题，可以使用Matlab的`fsolve`函数，或者在Lingo中构建模型并求解。这些方法适用于寻找方程组的根，是解决实际工程和数学问题的重要手段。
### 7. 极值点与函数图形
求解函数极值点并通过图形展示，这涉及到一阶导数和二阶导数的概念。在Matlab中，可以通过`fminbnd`或`fmincon`函数找到极值点，并使用`plot`函数绘制函数图像。
### 8. 最优化问题
例如，题目中的钢架下料问题、投资项目选择问题等，都属于最优化问题。这些问题可以通过建立数学模型，在Lingo软件中求解。Lingo提供了强大的线性规划、整数规划和非线性规划求解器，能够处理复杂的约束条件和目标函数。
### 9. 生产计划与设备利用率优化
题目中的工厂生产计划问题，涉及到资源分配和生产能力的最优化。通过建立适当的线性或整数规划模型，可以确定最优的生产策略，以最大化盈利或满足特定的生产目标。
### 10. 公益项目投资决策
题目中的市政府公益项目投资问题，是一个典型的多目标优化问题。在限制条件下，寻求资金和劳动力的最佳分配，以达到最大化服务效果的目标。这通常需要综合运用数学建模和优化算法，如线性规划、动态规划或遗传算法等。
### 11. 微分方程组求解
题目中的微分方程组初值问题，可以通过Matlab的`ode45`函数求解。该函数采用四阶龙格-库塔法，可以高效准确地计算微分方程组的数值解。
### 12. 几何图形面积计算
题目中的两个圆所围公共部分面积计算，可以通过解析几何的方法求解，也可以转化为数值积分问题，在Matlab中使用相应的函数求解。
### 13. 数据分析与可视化
题目中的高程数据分析，涉及到数据读取、处理和可视化。在Matlab中，可以使用`csvread`或`readtable`读取数据，使用`surf`或`contour`函数生成地形图，帮助理解地形特征。
这些练习题不仅覆盖了数学建模的基本概念，还深入到Matlab和Lingo软件的具体应用，是学习和掌握数学建模与IT技能的良好实践材料。通过解决这些问题，不仅可以提升理论知识，还能增强实际问题解决能力和软件操作技能。
