数字信号处理（第三版）答案

### 数字信号处理知识点解析 #### 一、单位脉冲序列及加权和表示 **题目解析：** 1. **单位脉冲序列及其加权和表示：** - **概念介绍：** - 单位脉冲序列通常指的是在n = 0时取值为1，而在其他位置取值为0的序列，记作δ(n)。 - 加权和是指将一系列数值乘以相应的权重后再相加。 - **应用实例：** - 题目要求用单位脉冲序列及其加权和表示给定的序列。这意味着需要找到一组单位脉冲序列，通过适当的加权和组合，使得它们能够准确地表示出题目中的序列。 2. **给定信号的分析：** - **绘制波形：** - 对于给定的信号x(n)，首先需要绘制出其波形，并标注出各个序列的值。 - **延迟单位脉冲序列的表示方法：** - 使用延迟单位脉冲序列表示x(n)或其变形（如x(n - k)、x(n + k)等），可以更加直观地理解信号的变化规律。 - **序列变换：** - 当给定序列进行时间轴上的移动（左移或右移）或幅值变化时，需要重新绘制新的波形，并解释其变化的原因。 3. **周期性的判断：** - **定义：** - 周期序列是指一个序列在时间轴上经过一定的周期后会重复出现的序列。 - **周期的确定：** - 如果序列是由正弦或余弦函数构成的，那么可以通过观察其参数来确定周期。 - 对于形式为sin(ωn)或cos(ωn)的序列，其周期T = 2π/ω。 - 如果ω是有理数，则该序列是周期的；如果是无理数，则该序列是非周期的。 **具体解答示例：** - 对于序列x(n) = A sin(2πn / 14)，其中A是常数。 - 这个序列的形式为正弦函数，其中频率ω = 2π / 14。 - 由于ω是有理数（即2π/14可以简化为π/7），因此这个序列是周期的。 - 其周期T = 14。 #### 二、线性与时不变性的判断 1. **线性与时不变性的定义：** - **线性系统**：若系统满足叠加原理，即输入信号的线性组合等于输出信号的相应线性组合，则该系统是线性的。 - **时不变系统**：若系统对所有输入信号的时间平移保持不变，则称该系统为时不变系统。 2. **系统分析示例：** - **差分方程**：给出的差分方程描述了系统的输入与输出之间的关系。 - **系统性质的判断**： - 通过对差分方程的分析，可以判断系统的线性和时不变性。 - 例如，对于差分方程y(n) = x(n - k)，k为整常数，可以看出这是一个简单的延迟器模型，是线性且时不变的。 - 而对于y(n) = x(n) * x(n - 1)，可以看出这是一个非线性系统。 #### 三、因果稳定性判断 1. **因果系统的定义：** - 因果系统是指系统的当前输出只依赖于当前和过去的输入，而不依赖于未来的输入。 2. **稳定性判断：** - 系统的稳定性通常通过分析差分方程来判断。 - 如果系统是因果的，并且对于任何有界的输入都有有界的输出，则认为该系统是稳定的。 - 例如，对于差分方程y(n) = x(n) + 0.5 y(n - 1)，可以判断该系统是因果的，因为输出仅依赖于当前和过去的输入；同时，如果输入是有界的，则输出也是有界的，因此系统是稳定的。 #### 四、线性时不变系统的单位脉冲响应 1. **单位脉冲响应的概念：** - 线性时不变系统的单位脉冲响应h(n)是指当输入为单位脉冲序列δ(n)时，系统的输出响应。 2. **单位脉冲响应的应用：** - 通过单位脉冲响应，可以方便地计算出系统对于任意输入信号的输出响应。 - 这是因为线性时不变系统的输出可以表示为输入信号与单位脉冲响应的卷积。 #### 五、连续信号的采样 1. **采样间隔的选择：** - 选择合适的采样间隔是确保信号不失真的关键。 2. **周期性判断：** - 对于给定的连续信号，需要先判断其周期性，再进行采样。 - 采样后的信号仍然保持周期性。 #### 六、傅里叶变换 1. **傅里叶变换的基本概念：** - 傅里叶变换是一种将时间域信号转换到频域的方法。 - 它可以帮助我们理解信号的频谱特性。 2. **傅里叶变换的应用：** - 在数字信号处理中，傅里叶变换被广泛应用于信号分析、滤波等领域。 - 通过傅里叶变换，我们可以更容易地识别信号中的特定频率成分，并对其进行处理。