高等代数（北大版）第7章习题集参考答案解析.doc

【高等代数第七章线性变换知识点】 线性变换是高等代数中的核心概念，它在数学、物理学、工程学等多个领域都有广泛的应用。线性变换必须满足两个基本性质：一是保加法，即对任意两个向量 \( \mathbf{x}, \mathbf{y} \) 和标量 \( \alpha \)，有 \( A(\mathbf{x} + \mathbf{y}) = A\mathbf{x} + A\mathbf{y} \)；二是保标乘，即 \( A(\alpha \mathbf{x}) = \alpha A\mathbf{x} \)。以下是对题目中各点的详细解释： 1. 判断线性变换： - 变换 \( A\mathbf{x} = \mathbf{a} + \mathbf{x} \)：当 \( \mathbf{a} = 0 \) 时，它是线性的；否则，它不是线性的，因为它不保标乘。 - 变换 \( A\mathbf{x} = \alpha \mathbf{x} \)：当 \( \alpha = 0 \) 时，它不是线性的；否则，它是线性的。 - 变换 \( A\mathbf{x} = [x_1^2 + x_2^2 + x_3^2, x_1x_2, x_1x_3] \)：这不是线性的，因为它不满足保加法。 - 变换 \( A\mathbf{x} = [x_1 - x_2, x_2 - x_3, x_3 - x_1] \)：这是线性的，因为对于任何 \( \mathbf{x}, \mathbf{y} \) 和 \( \alpha \)，可以验证线性性质。 - 变换 \( A\mathbf{x} = f(x)g(x) \)：当 \( f \) 和 \( g \) 是多项式时，它是线性的，因为多项式的乘积仍为多项式，满足线性变换的定义。 - 变换 \( A\mathbf{x} = 0 \cdot \mathbf{x} \)：它是线性的，因为它总是返回零向量。 - 复数域上的恒等变换 \( A\mathbf{x} = \mathbf{x} \)：它是线性的，因为它满足线性变换的两个性质。 - 变换 \( AX = BX \)：如果 \( B \) 和 \( C \) 是固定矩阵，它是线性的。 2. 空间旋转变换的性质：在三维空间中，绕轴的旋转变换是线性的。绕 ox 轴旋转 90 度的变换 \( A \)，绕 oy 轴旋转 90 度的变换 \( B \)，绕 oz 轴旋转 90 度的变换 \( C \)，都可以表示为矩阵，通过计算它们对任意向量 \( \mathbf{a} \) 的作用，可以证明 \( A = B = C = E \)（单位矩阵），\( AB = BA \)，以及 \( (AB)^2 = AB \)。 3. 矩阵乘法的性质：在多项式空间 \( P[x] \) 中，对于两个线性变换 \( A \) 和 \( B \)，证明 \( AB - BA = E \)。这意味着 \( A \) 和 \( B \) 相互抵消后得到单位变换。 4. 可逆线性变换的性质：如果 \( AB - BA = E \)，则 \( A \) 为 \( k \times k \) 矩阵时，有 \( (AB - BA)^k = A^k \)。这是通过数学归纳法证明的，当 \( k \) 增大时，这个性质仍然成立。 5. 可逆变换的双射性：如果一个线性变换 \( A \) 可逆，那么它的逆变换 \( A^{-1} \) 存在。\( A \) 是双射的，意味着对每个 \( b \) 都存在唯一的一个 \( a \) 使得 \( Aa = b \)，并且没有两个不同的 \( a \) 会映射到同一个 \( b \)。 6. 线性变换的基表示：线性变换 \( A \) 可逆当且仅当 \( A \) 在一组基下的矩阵 \( A \) 是可逆的，这等价于 \( A \) 作用于基元素的像 \( A\mathbf{e}_1, A\mathbf{e}_2, ..., A\mathbf{e}_n \) 线性无关。 7. 线性变换在特定基下的矩阵： - 对于第四题中的变换 \( A \)，在标准基 \( (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1) \) 下的矩阵可以通过计算 \( A \) 对于基向量的作用来确定。 - 平面上向量的投影变换通常涉及到坐标变换，矩阵可以表示为对基向量的投影结果。 - 多项式空间中的线性变换 \( A \) 在基 \( (1, x, x^2, ..., x^{n-1}) \) 下的矩阵是通过计算 \( A \) 对于每个基多项式的作用来构建的。 - 六个函数 \( e^{cx} \) 的变换，需要具体分析变换 \( A \) 的定义来确定其在该基下的矩阵。 线性变换的性质、矩阵表示及其计算是高等代数学习的重要内容，理解并掌握这些概念对于深入学习线性代数和相关领域至关重要。