矩阵多项式的逆、秩、块数值域与应用、正交多项式.doc
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2021-10-12
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题目：矩阵多项式的逆、秩、块数值域与应用、正交多项
式
一、矩阵多项式的定义
设 f(x)= + +…+ + 是关于未知数 的 次多项
式； 是方阵， 是 的同阶单位矩阵，则称 f(x)= + +
…+ + 为多项式 f(x)= + +…+ + 形成的
矩阵 的多项式，记作 f( )。
例 如 ， = ，则 f( )= - + +
= ，f( )就是矩阵 的多项式。当然矩阵多项式也是矩阵。
矩阵多项式的逆矩阵的定义：设 是数域 P 上的一个 n 阶方阵，
f( )是矩阵 的多项式，如果存在矩阵多项式 g( ) ，使得 f(
)g( )=g( )f( )= ，则称矩阵多项式 f( )是可逆的，又称矩阵
多项式 g( )为多项式 f( )的逆矩阵。
当矩阵多项式 f( )是可逆的时，逆矩阵 g( )由矩阵多项式 f(
)唯一确定，记为 。
二、矩阵多项式的逆矩阵求法
1. 对于一些比较容易化解或形式比较简单的矩阵多项式的逆矩
阵求法，可以先尝试用待定系数法或分解因子法求其逆矩阵（多项
式有逆矩阵的充分必要条件是它的行列式值为非零数）。
例如分解因子法：
例 若 , 是两个 阶方阵，且具有 成立，
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