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最小二乘法探究.docx
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最小二乘法探究
0.前言
最小二乘法发源于天体物理学,并广泛应用于其他各个学科。最小二乘法〔 Least
squares〕又称最小平方法,一元线性回归法,是一种数学优化技术,用于建立经验公式,
利用它可以把生产或实验中所积累的某些经验提高到理论上加以分析。它通过最小化误差
的平方和寻找数据的最正确函数匹配。利用最小二乘法可以简便地求得未知的数据,并使
得这些求得的数据与实际数据之间误差的平方和为最小。最小二乘法还可用于曲线拟合,是
我们在建模竞赛中常用的一种手段。一些优化问题也可通过最小化能量或最大化熵用最小
二乘法来表达。
最小二乘法发源于天体物理学,并广泛应用于其他各个学科。最小二乘法对于统计学
具有十分重要的意义。相关回归分析,方差分析和线性模型理论等数理统计学的几大分支
都以最小二乘法为理论根底,正如美国统计学家斯蒂格勒〔S.M,Stigler〕所说,“最小二
乘法之于数理统计学犹如微积分之于数学〞。故对最小二乘法做一番探究进而理解并掌握
这一思想是十分有必要的。
1.原理
在古汉语中“平方〞称为“二乘〞,“最小〞指的是参数的估计值要保证各个观测点与估
计点的距离的平方和达到最小。根据教材中的描述〔两个变量间的函数关系〕,其根本原
理为:
根据的自变量与因变量数据做出散点图,进而观察判定出两者间的函数关系,本次探
讨以一次函数关系为例,其他类型的函数关系也可通过两边取对数等方法转化为一次函数
形式进展求解。
认定
y=f
(
x
)
是线性函数:
f
(
x
)
=ax+b
a,b 即为待求的常数。对于求的函数,我们
希望它可以尽可能多的拟合到的数据点,或者说尽可能的靠近。转化为量化形式即为使偏
差
y
i
−f
(
x
i
)
都很小,对此经过综合分析我们用
M=
∑
i=0
imax
[ y
i
−
(
a x
i
+b
)
]
2
最小来保证每个偏差
的绝对值都很小,即根据偏差的平方和为最小的条件来确定常数 a,b。然后运用多远函数
的极值求法知识来求解求
M=¿
的极小值,具体步骤为:
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