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第十六章 差分方程模型
离散状态转移模型涉及的范围很广,可以用到各种不同的数学工具。下面我们对差
分方程作一简单的介绍,下一章我们将介绍马氏链模型。
§1 差分方程
1.1 差分方程简介
规定
t 只取非负整数。记
t
y 为变量
y
在 t 点的取值,则称
ttt
yyy −
=
Δ
+1
为
t
y 的一
阶向前差分,简称差分,称
ttttttt
yyyyyyy +−=Δ−Δ=ΔΔ=Δ
+++ 121
2
2)( 为
t
y 的二
阶差分。类似地,可以定义
t
y 的 n 阶差分
t
n
yΔ 。
由
t
yt、 及
t
y 的差分给出的方程称为
t
y 的差分方程,其中含
t
y 的最高阶差分的阶
数称为该差分方程的阶。差分方程也可以写成不显含差分的形式。例如,二阶差分方程
0
2
=+Δ+Δ
ttt
yyy 也可改写成 0
12
=
+
−
++ ttt
yyy 。
满足一差分方程的序列
t
y 称为差分方程的解。类似于微分方程情况,若解中含有
的独立常数的个数等于差分方程的阶数时,称此解为该差分方程的通解。若解中不含任
意常数,则称此解为满足某些初值条件的特解。
称如下形式的差分方程
)(
110
tbyayaya
tntntn
=
+
+
+
−++
L (1)
为
n 阶常系数线性差分方程,其中
n
aaa ,,,
10
L 是常数, 0
0
≠
a 。其对应的齐次方程为
0
110
=
+
+
+
−++ tntntn
yayaya L (2)
容易证明,若序列
)1(
t
y 与
)2(
t
y 均为(2)的解,则
)2(
2
)1(
1 ttt
ycycy += 也是方程(2)的
解,其中
21
,cc
为任意常数。若
)1(
t
y 是方程(2)的解,
)2(
t
y 是方程(1)的解,则
)2()1(
ttt
yyy += 也是方程(1)的解。
方程(1)可用如下的代数方法求其通解:
(I)先求解对应的特征方程
0
0
1
10
=+++
−
aaa
nn
L
λλ
(3)
(II)根据特征根的不同情况,求齐次方程(2)的通解。
(i)若特征方程(3)有
n 个互不相同的实根
n
λ
λ
,,
1
L ,则齐次方程(2)的通解
为
t
nn
t
cc
λλ
++L
11
(
n
cc ,,
1
L 为任意常数)
(ii)若
λ
是特征方程(3)的 k 重根,通解中对应于
λ
的项为
tk
k
tcc
λ
)(
1
1
−
++L ,
),,1( kic
i
L= 为任意常数。
( iii)若特征方程(3)有单重复根
i
β
α
λ
±
=
,通解中对应它们的项为
tctc
tt
ϕρϕρ
sincos
21
+ ,其中
22
βαρ
+= 为
λ
的模,
α
β
ϕ
arctg= 为
λ
的幅角。
(iv)若
i
β
α
λ
±=
是特征方程(3)的 k 重复根,则通解对应于它们的项为
ttccttcc
tk
kk
tk
k
ϕρϕρ
sin)(cos)(
1
21
1
1
−
+
−
+++++ LL