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模糊 C 均值聚类算法的实现

研究背景

模糊聚类分析算法大致可分为三类

1）分类数不定，根据不同要求对事物进行动态聚类，此类方法是基于模糊等价

矩阵聚类的，称为模糊等价矩阵动态聚类分析法。

2）分类数给定，寻找出对事物的最佳分析方案，此类方法是基于目标函数聚类

的，称为模糊 C 均值聚类。

3）在摄动有意义的情况下，根据模糊相似矩阵聚类，此类方法称为基于摄动的

模糊聚类分析法

聚类分析是多元统计分析的一种，也是无监督模式识别的一个重要分支，在模

式分类图像处理和模糊规则处理等众多领域中获得最广泛的应用。它把一个没

有类别标记的样本按照某种准则划分为若干子集，使相似的样本尽可能归于一

类，而把不相似的样本划分到不同的类中。硬聚类把每个待识别的对象严格的划

分某类中，具有非此即彼的性质，而模糊聚类建立了样本对类别的不确定描述，

更能客观的反应客观世界，从而成为聚类分析的主流。

模糊聚类算法是一种基于函数最优方法的聚类算法，使用微积分计算技术求

最优代价函数，在基于概率算法的聚类方法中将使用概率密度函数，为此要假定

合适的模型，模糊聚类算法的向量可以同时属于多个聚类，从而摆脱上述问题。

我所学习的是模糊 C 均值聚类算法，要学习模糊 C 均值聚类算法要先了解虑

属度的含义，隶属度函数是表示一个对象 x 隶属于集合 A 的程度的函数，通常记

做μ (x)，其自变量范围是所有可能属于集合 A 的对象（即集合 A 所在空间中的

所有点），取值范围是[0,1]，即 0<=μ (x)<=1。μ (x)=1 表示 x 完全隶属于集合

A，相当于传统集合概念上的 x∈A。一个定义在空间 X={x}上的隶属度函数就定

义了一个模糊集合 A，或者叫定义在论域 X={x}上的模糊子集A。对于有限个对

象 x ，x ，……，x 模糊集合A可以表示为：

A  {( (x ),x ) | x  X}

(6.1)

有了模糊集合的概念，一个元素隶属于模糊集合就不是硬性的了，在聚类的

问题中，可以把聚类生成的簇看成模糊集合，因此，每个样本点隶属于簇的隶属

度就是[0，1]区间里面的值。

FCM 算法需要两个参数一个是聚类数目 C，另一个是参数 m。一般来讲 C 要

远远小于聚类样本的总个数，同时要保证 C>1。对于 m，它是一个控制算法的柔

性的参数，如果 m 过大，则聚类效果会很次，而如果 m 过小则算法会接近 HCM

聚类算法。

算法的输出是 C 个聚类中心点向量和 C*N 的一个模糊划分矩阵，这个矩阵表

示的是每个样本点属于每个类的隶属度。根据这个划分矩阵按照模糊集合中的最

大隶属原则就能够确定每个样本点归为哪个类。聚类中心表示的是每个类的平均

特征，可以认为是这个类的代表点。

从算法的推导过程中我们不难看出，算法对于满足正态分布的数据聚类效果会很

好，另外，算法对孤立点是敏感的。

聚类算法是一种比较新的技术，基于曾次的聚类算法文献中最早出现的

Single-Linkage 层次聚类算法是 1957 年在 Lloyd 的文章中最早出现的，之后

MacQueen 独立提出了经典的模糊 C 均值聚类算法，FCM 算法中模糊划分的概念最

早起源于 Ruspini 的文章中，但关于 FCM 的算法的详细的分析与改进则是由 Dunn

和 Bezdek 完成的。

模糊 c 均值聚类算法因算法简单收敛速度快且能处理大数据集，解决问题范

围广，易于应用计算机实现等特点受到了越来越多人的关注，并应用于各个领域。

算法描述

模糊 C 均值聚类算法的步骤还是比较简单的，模糊 C 均值聚类（FCM），即众

所周知的模糊 ISODATA，是用隶属度确定每个数据点属于某个聚类的程度的一种

聚类算法。1973 年，Bezdek 提出了该算法，作为早期硬 C 均值聚类（HCM）方法

的一种改进。

FCM 把 n 个向量 x （i=1,2,…,n）分为 c 个模糊组，并求每组的聚类中心，

使得非相似性指标的价值函数达到最小。FCM 与 HCM 的主要区别在于 FCM 用模糊

划分，使得每个给定数据点用值在 0，1 间的隶属度来确定其属于各个组的程度。

与引入模糊划分相适应，隶属矩阵 U 允许有取值在 0，1 间的元素。不过，加上

归一化规定，一个数据集的隶属度的和总等于 1：



 1,  1,...,

(6.9)

i1

那么，FCM 的价值函数（或目标函数）就是式（6.2）的一般化形式：

 

J(U,c ,...,c )  J 

，

u d

(6.10)

ij ij

i1

这里 u 介于 0，1 间；c 为模糊组 I 的聚类中心，d =||c -x ||为第 I 个聚类中





心与第 j 个数据点间的欧几里德距离；且m  1, 是一个加权指数。

构造如下新的目标函数，可求得使（6.10）式达到最小值的必要条件：

 

J(U,c ,...,c ,

 ,..., )

 J(U,c ,..., )

c 

 (

u 

j1

(6.11)

i1

  

 (

u 



u d 

ij ij

i1

j1

i1

这里 ，j=1 到 n，是（6.9）式的 n 个约束式的拉格朗日乘子。对所有输入参量

求导，使式（6.10）达到最小的必要条件为：

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