模糊C均值聚类.docx
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2022-07-10
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FCM 算法是一种基于划分的聚类算法，它的思想就是使得被划分到同一簇的对象之间
相似度最大，而不同簇之间的相似度最小。模糊 C 均值算法是普通 C 均值算法的改进，普
通 C 均值算法对于数据的划分是硬性的，而 FCM 则是一种柔性的模糊划分。在介绍 FCM
具体算法之前我们先介绍一些模糊集合的基本知识。
6.1.1 模糊集基本知识
[21]
首先说明隶属度函数的概念。隶属度函数是表示一个对象 x 隶属于集合 A 的程度的函
数，通常记做μ (x)，其自变量范围是所有可能属于集合 A 的对象（即集合 A 所在空间中
A
的所有点），取值范围是[0,1]，即 0<=
μ (x)<=1。μ (x)=1 表示 x 完全隶属于集合 A，相当于传统集合概念上的 x∈A。一个定义
A
A
在空间 X={x}上的隶属度函数就定义了一个模糊集合 A，或者叫定义在论域 X={x}上的模糊
子集 。对于有限个对象 x ，x ，……，x 模糊集合 可以表示为：
A
A
1
2
n
~
~
A {(
( ), ) | }
x
x
x
X
(6.1)
A
i
i
i
~
有了模糊集合的概念，一个元素隶属于模糊集合就不是硬性的了，在聚类的问题中，可
以把聚类生成的簇看成模糊集合，因此，每个样本点隶属于簇的隶属度就是[0，1]区间里面
的值。
6.1.2 K 均值聚类算法(HCM)介绍
K 均值聚类，即众所周知的 C 均值聚类，已经应用到各种领域。它的核心思想如下：
算法把 n 个向量 x (1,2…,n)分为 c 个组 G (i=1,2,…,c)，并求每组的聚类中心，使得非相似性
j
i
（或距离）指标的价值函数（或目标函数）达到最小。当选择欧几里德距离为组j 中向量 x
k
与相应聚类中心 c 间的非相似性指标时，价值函数可定义为：
i
c
c
J
Ji
(
|| x c ||
)
(6.2)
2
k
i
i 1
i 1 k , x Gi
k
c
这里 Ji
(
|| x c || ) 是组 i 内的价值函数。这样 J 的值依赖于 G 的几何特性和 c
2
i
i
i
k
i
i 1 k , x Gi
k
的位置。
一般来说，可用一个通用距离函数 d(x ,c )代替组 I 中的向量 x ，则相应的总价值函数可
k
i
k
表示为：
c
c
J
Ji
(
d( x c ))
(6.3)
k
i
i 1
i 1 k , x Gi
k
为简单起见，这里用欧几里德距离作为向量的非相似性指标，且总的价值函数表示为
（6.2）式。
划分过的组一般用一个 c×n 的二维隶属矩阵 U 来定义。如果第 j 个数据点 x 属于组 i，
j
则 U 中的元素 u 为 1；否则，该元素取 0。一旦确定聚类中心 ci，可导出如下使式（6.2）
ij
最小 u ：
ij
2
2
1
对每个 k i,如果 x c
x c
，
u
j
i
j
k
(6.4)
ij
0
其它
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