计算方法——数值积分

### 计算方法——数值积分 #### 实验背景与目的 本实验主要涉及数值积分的基础概念和技术，旨在帮助学生理解并掌握数值积分的基本思想和原理。通过本实验的学习，学生应能够深刻认识到数值积分法的实际意义及其在解决工程、物理等领域问题中的重要作用。此外，学生还需要明确代数精度的概念，理解数值积分精度与步长之间的关系，以及熟悉几种常用的数值积分公式（如复合梯形公式、复合辛普森公式等），并能够应用这些公式解决实际问题。 #### 实验内容概述 本实验包含两个主要任务： 1. **使用复合梯形递推公式计算积分** \(\int_{1}^{3} \frac{1}{x} dx\)，确保其截断误差不超过 \(10^{-2}\)。 2. **使用复合辛普森公式计算积分** \(\int_{0}^{1} \sin(x) dx\)，确保其截断误差不超过 \(2.1 \times 10^{-6}\)。 #### 实验原理 - **复合梯形公式**：这是一种基于梯形法则的数值积分方法，它将积分区间分割为多个小的子区间，并在每个子区间上使用梯形法则来估计积分值。具体而言，假设积分区间为 \([a, b]\)，将其等分为 \(n\) 个子区间，则复合梯形公式的表达式为： \[ T_n = \frac{h}{2} \left[ f(a) + 2\sum_{i=1}^{n-1}f(x_i) + f(b) \right] \] 其中，\(h = \frac{b-a}{n}\)，\(x_i = a + ih\)，\(i = 1, 2, ..., n-1\)。 - **复合辛普森公式**：这是一种更精确的数值积分方法，适用于具有二次多项式特征的被积函数。它将积分区间 \([a, b]\) 分为 \(n\) 个子区间，并在每个子区间上使用辛普森法则估计积分值。复合辛普森公式的表达式为： \[ S_n = \frac{h}{3} \left[ f(a) + 4\sum_{i=1}^{\lfloor\frac{n}{2}\rfloor}f(x_{2i-1}) + 2\sum_{i=1}^{\lfloor\frac{n-1}{2}\rfloor}f(x_{2i}) + f(b) \right] \] 其中，\(h = \frac{b-a}{n}\)，\(x_i = a + ih\)，\(i = 1, 2, ..., n\)。 #### 实验原理详解 - **复合梯形公式** 的原理基于梯形法则，通过将积分区间等分为若干个小区间，使用梯形面积近似代替每个小区间的积分。该方法简单直观，但精度相对较低。对于复合梯形公式，可以使用递推的方式逐步细化积分区间，以达到所需的精度。具体的算法流程如下： 1. 输入区间端点 \(a\) 和 \(b\)，以及所需的精度 \(\epsilon\) 和初始分段数量 \(k_0\)。 2. 初始计算 \(T_1\)，如果精度不满足要求，则进一步细分子区间。 3. 使用递推公式更新 \(T_{2k}\) 直到满足精度要求。 4. 输出近似值或失败信息。 - **复合辛普森公式** 的原理同样基于分段处理的思想，但采用的是更高阶的近似方法。该方法适用于被积函数为二次多项式的积分问题，通过将积分区间等分为若干个小区间，利用辛普森法则来近似每个小区间的积分。具体的算法流程如下： 1. 输入区间端点 \(a\) 和 \(b\) 以及分段数量 \(n\)。 2. 计算步长 \(h\) 和初值 \(S_1\)。 3. 对于每一个子区间，分别计算奇数位置和偶数位置的函数值，并累加。 4. 使用辛普森公式的计算规则，得出最终的近似积分值。 #### 实验数据记录 - **复合梯形公式** 计算积分 \(\int_{1}^{3} \frac{1}{x} dx\)，精度要求为 \(10^{-2}\)。 - **复合辛普森公式** 计算积分 \(\int_{0}^{1} \sin(x) dx\)，精度要求为 \(2.1 \times 10^{-6}\)。 #### 实验代码示例 虽然原报告中提供的 C 语言代码片段不够完整，但可以基于实验原理给出一个简化的代码框架示例，用于说明如何实现复合梯形公式和复合辛普森公式的计算过程。 本实验通过复合梯形公式和复合辛普森公式的实现与应用，不仅加深了学生对数值积分技术的理解，而且提高了他们在实际问题中解决问题的能力。通过实验，学生不仅掌握了理论知识，还学会了如何将理论应用于实践，这对于培养学生的综合能力和解决实际问题的能力具有重要意义。