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鱼雷控制系统计算机辅助分析设计与仿真(现代控制理论部分)
鱼雷控制系统计算机辅助分析设计与仿真(现代控制理论部分)
目录
1 概述[1]..................................................................................................2
2 用极点配置方法设计鱼雷控制系统 ..................................................2
2.1 第一种极点配置方法 .................................................................2
2.2 第二种极点配置方法:Ackermann法.......................................4
3 全维观测器设计 ..................................................................................9
4 降维观测器设计 ................................................................................15
5 线性二次型最优控制理论设计控制系统 ........................................22
5.1 连续系统二次型调节器问题的求解 .......................................22
5.2 最优输出跟踪 ...........................................................................24
6 参考文献.............................................................................................29
1
鱼雷控制系统计算机辅助分析设计与仿真(现代控制理论部分)
1 概述[1]
前面讲述了如何运用经典控制理论的频域方法来分析和设计鱼雷控制系统,但是,这些
方法的缺点是:
(1) 原则上只适合单输入单输出系统;
(2) 在某种程度上,这些方法都是试凑法,需反复多次才能达到目的;
(3) 设计的成功与否,与设计者的经验很有关系;
(4) 只适合线性定常系统,不适合非线性时变系统。
与前面介绍的频域设计方法同时发展的现代设计技术,在近 40 多年也有了很大的进展。
50 至 60 年代,控制系统的研究者们提出了各种控制系统的设计方法,其中比较有代表性的
包括极点配置方法、以线性二次型指标为基础的最优控制问题等。
2 用极点配置方法设计鱼雷控制系统
给定控制系统的状态方程模型,则经常希望引入某种控制器,使得该系统的闭环极点移
动到某个指定位置,因为在很多情况下系统的极点位置会影响系统的动态特性。
设系统的状态空间方程为
x
Ax Bu
yCxDu
=+
⎧
⎨
=+
⎩
极点配置法的前提是系统能控。假定系统是能控的,则可以采用状态反馈将极点配置到
复平面的任意位置。
下面介绍求取状态反馈增益矩阵 K 的两种方法。第一种方法是用转换矩阵 T,将状态
方程转换成能控标准型,然后将期望的特征方程和加入状态反馈增益矩阵 K 后的特征方程
比较,令对应项的系数相等,从而决定状态反馈增益矩阵 K。第二种方法是 Ackermann 配
置算法。
2.1 第一种极点配置方法
x
Ax Bu
uKx
=+
⎧
⎨
=−
⎩
定义变换矩阵 T 为
T=MW
其中,M 为能控矩阵,即 M=[B AB A^2B……A^(n-1)B];W 矩阵形式如下:
2
鱼雷控制系统计算机辅助分析设计与仿真(现代控制理论部分)
3
0
−
12 1
23
1
1
10
10
10 00
nn
nn
aa a
aa
W
a
−−
−−
⎛⎞
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
=
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
"
"
#####
"
"
式中,
( )为系统特征多项式
i
a
1, 2 1in="
12
12
||
nn n
n
sI A s a s a s a
−−
−=+ + ++"
的系数。
定义新的状态矢量
为
ˆ
x
ˆ
xTx=
因为系统完全能控,W 为非奇异矩阵,故 T 的逆矩阵存在。系统状态方程可变换为
11
ˆˆ
x
TATxTBu
−−
=+
式中,
1
12 1
01 0 0
00 1 0
00 0 1
nn n
TAT
aa a a
−
−−
⎛⎞
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
=
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
−− − −
⎝⎠
"
"
## #"#
"
"
i
1
1
1
()
n
n
ni
ii
i
i
su s bs
−
=
=
−=+
∑
∏
[
()
1
000 1
T
TB
−
= "
假定系统期望的特征值为
u ,则期望的特征方程为
令
]
11
ˆ
nn
KKT
δ
δδ
−
== "
x
,
ˆ
ˆˆ
uKxKTxK
=
−=− =−
11
ˆˆ ˆ
x
TATxTBKTx
−−
=−
1−
1
则变换后的系统特征方程为
11
11
2
22
||| |
nn
n
nn
sI A Bk sI T AT T BKT s a s
as a
δ
δδ
−−
−
−+ = − + = +
+++"
(+)
(+) (+)
这是有着状态反馈的系统特征方程,它应该与给定期望特征方程相同,因此相应项的系
数相同,故有
11
ab
δ
=+ ,
22
ab
2
δ
=+ ,"
nn
ab
n
δ
=
+
由此可得
鱼雷控制系统计算机辅助分析设计与仿真(现代控制理论部分)
[
]
11
11 11
ˆ
nnn n
KKT bab a baT
−−
−−
==− − −"
因此,假如系统状态完全能控,选取矩阵 K 可以实现系统闭环极点的任意配置,即可
以使系统达到要求的性能指标。
根据上面的分析,设计状态反馈矩阵 K,以便得到期望极点位置的步骤如下:
(1) 判断系统能控。
(2) 从矩阵 A 得到特征多项式
12
12
||
nn n
n
sI A s a s a s a
−−
−=+ + ++"
,
从而得到各个系数。
(3) 求取变换矩阵
T=MW
M 和 W 分别由前面给出。
(4) 由期望的特征值求出特征多项式
1
1
1
()
n
n
ni
ii
i
i
su s bs
−
=
=
−=+
∑
∏
(5) 求取状态反馈增益矩阵 K
[
]
11
11 11
ˆ
nnn n
KKT bab a baT
−−
−−
==− − −"
2.2 第二种极点配置方法:Ackermann 法
()
x
ABKx=−
令
ˆ
()
A
ABK=−
期望的特征方程为
1
12 1 1
ˆ
||||()()() 0
nn
nnn
sI ABK sI A susu su s bs bsb
−
−
−+ = − = − − − = + + + + =""
1
11
()
nn
nn
ssbs bsb
−
−
Φ=+ ++ +"
定义
则
1
11
()
nn
nn
A
AbA bAbI
−
−
Φ=+ ++ +"
因为
ˆ
A
满足期望的特征方程,因此
1
11
ˆˆ ˆ ˆ
()
nn
nn
A
AbA bAbI
−
−
Φ=+ ++ +"
为简化推导过程,考虑 n=3 时的情形,则
ˆ
A
ABK=−
4
鱼雷控制系统计算机辅助分析设计与仿真(现代控制理论部分)
22
ˆˆ
A
A ABK BKA=− −
332
ˆˆ
2
A
A A BK ABKA BKA=− − −
将上述方程分别乘以
32100
,,,( 1)bbbbb
=
,并相加,从而得
23 23
321032102
22
11
ˆˆ ˆ
ˆˆˆ
bI bA bA bA bI bA bA bA bBK
b ABK b BKA A BK ABKA BKA
++ + =++ + −
−−−−−
有
22
21 1
ˆˆˆˆ
() () ( ) ( ) 0A A B b K b KA KA AB b K KA A BKΦ=Φ− + + − + − =
()
22
21 1
2
21
2
1
ˆˆ ˆ
() ( ) ( )
ˆˆ
ˆ
A
B b K b KA KA AB b K KA A BK
bK bKA KA
BABAB bKKA
K
Φ= + + + + +
⎛⎞
++
⎜⎟
=+
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
()
(
)
1
2
001 ()KBABABA
−
=Φ
()
()
1
1
00 1 ()
n
KBABABA
−
−
=Φ""
00 1
0 1.3536 0.223
0 11.742 5.381
A
⎛⎞
⎜⎟
=−
⎜⎟
⎜⎟
−
⎝⎠
()
0 0.113 1.883
T
B =
其通用公式为
上式称为 Ackermann 公式。
例 7-1 某型鱼雷航向通道的状态方程的系数为
, ,
(
)
100C =
,D=0。
状态
, u
1
T
y
x
ψβω
⎡⎤
=
⎣⎦
r
δ
=
y
ψ
=
。 ,
试确定反馈增益使得闭环系统的特征多项式为
32
11 36 36ss s
+
++
。并分析状态反馈前后
系统性能的变化情况。
解:(1)第一种方法
A=[ 0 0 1;
0 -1.3536 0.223;
0 11.742 -5.381];
B=[0;0.113;1.883];
C=[1 0 0];
D=0;
JA=poly(A); %闭环特征多项式系数
a1=JA(2);
a2=JA(3);
5
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