高等工程数学
习题解答与提示
（教师内部参考）
教材——
南京理工大学高等工程数学编写组，高等工程数学讲义，2018年7月.
目目目 录录录
第 一 章 习题解答与提示 1
第 二 章 习题解答与提示 9
第 三 章 习题解答与提示 21
第 四 章 习题解答与提示 29
第 五 章 习题解答与提示 35
第 六 章 习题解答与提示 47
第 七 章 习题解答与提示 51
第 八 章 习题解答与提示 55
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高等工程数学 第一章习题解答与提示 1
第第第 一一一 章章章 习习习题题题解解解答答答与与与提提提示示示
1. 分别证明例1.1-例1.4定义的距离都满足距离的三个条件。
证明：例1.1定义的离散距离满足距离都的三个条件是显然的，在此略去；
例1.2中d
1
, d
∞
满足非负性、对称性由定义可以直接得到，由于绝对值满足三角
不等式，所以d
1
, d
∞
也满足三角不等式； 例1.2中d
2
满足非负性、对称性由定义
可以直接得到，取Minkowski不等式（见1.6节）中p = 2即可证明d
2
满足三角不
等式;
例1.3中d
p
满足非负性、对称性由定义可以直接得到，利用Minkowski不等式即
可证明d
p
满足三角不等式;
例1.4中d
∞
满足非负性、对称性由定义可以直接得到，利用上确界的定义以及
绝对值的三角不等式，容易得到d
∞
满足三角不等式。
2. 证明极限的性质1.1。
证明：利用距离的三角不等式得：
∥d(x
n
, y
n
) − d(x
0
, y
0
)∥≤∥d(x
n
, y
n
) − d(y
n
, x
0
)∥ + ∥d(y
n
, x
0
) − d(x
0
, y
0
)∥
≤ d(x
n
, x
0
)) + d(y
n
, y
0
)) −→ 0,
从而
lim
n→∞
d(x
n
, y
n
) = d(x
0
, y
0
).
若x
0
, y
0
∈ X都是点列{x
n
}的极限，则利用三角不等式得：
d(x
0
, y
0
) ≤ d(x
0
, x
n
) + d(x
n
, y
0
)
令n −→ ∞有d(x
n
, x
0
) −→ 0, d(x
n
, y
0
) −→ 0,因此 d(x
0
, y
0
) = 0即x
0
= y
0
。
3. 证明定理1.1。
证明：(1) =⇒ (2)，由于T 是连续的，从而对∀ε > 0，存在δ > 0，当 d
X
(x, x
0
) <
δ时，有d
Y
(T x, T x
0
) < ε。 由于x
n
→ x
0
(n → ∞)，对上述δ > 0存在自然
数N，当n > N时 d
X
(x
n
, x
0
) < δ，所以d
Y
(T x
n
, T x
0
) < ε,即T x
n
→ T x
0
(n →
∞)。 T x
n
→ T x
0
(n → ∞)。
(2) =⇒ (1)，反证法。若T 在x
0
不连续，则存在ε
0
> 0，使对任意δ > 0，存
在x
δ
∈ X， 且d
X
(x
δ
, x
0
) < δ， 但d
Y
(T x
δ
, T x
0
) ≥ ε
0
，特别取δ =
1
n
, (n =
2 高等工程数学 第一章习题解答与提示
1, 2, ···)， 则有x
n
∈ X，d
X
(x
n
, x
0
) <
1
n
， 但d
Y
(T x
n
, T x
0
) ≥ ε
0
， 这意味
着x
n
−→ x
0
(n −→ ∞)，但T x
n
−→ T x
0
(n −→ ∞)不成立，矛盾。
4. 证明例1.16。
证明：(1).假设X是有限集，{x
n
} ⊂ X为一无穷点列，则X中至少有一元素
在{x
n
} ⊂ X出现无穷多次，记该元素为x
0
。 从而在{x
n
}中可以选取子列，使
得该子列每项都是x
0
， 显然该子列是收敛的。
(2).不妨假设{x
n
} ⊂ [a, b]为一个各元素互异的点列，对[a, b]进行二等分成两
个闭区间，则必有一个区间中含有{x
n
} ⊂ [a, b]中无穷多个元素，记该区间
为[a
1
, b
1
]。如此反复下去，我们得到一个闭区间序列{[a
n
, b
n
]}，该闭区间列中
每一个闭区间都含有{x
n
} ⊂ [a, b]中无穷多个元素，并且
[a
n
, b
n
] ⊃ [a
n+1
b
n+1
], n = 1, 2, ··· , b
n
− a
n
−→ 0(n −→ ∞).
从而存在唯一一点x
0
∈ [a, b]，使得对任何n有x
0
∈ [a
n
, b
n
](该性质称为闭区间套
定理)。根据构造，我们可以在[a
n
, b
n
]中选取{x
n
} 中互异的子列{x
n
k
}，显然该
点列以x
0
为极限。
(3). 略。
(4). 若A ⊂ R
n
为有界闭集，按照(2)的方法，可以同样证明A为紧集。若A为紧
集，下证A为有界闭集。首先类似(3)的方法，如果A不是有界集，可以构造A
中一个点列，使之发散到无穷，该点列就不存在收敛子列。如果A不是闭集，
设x
0
为A的边界点，则对任何自然数n， B(x
0
,
1
n
) ∩ {A {x
0
}} = ∅。 通过适当
选取，可以得到点列{x
n
}使得当n = m时x
n
= x
m
且x
n
∈ B(x
0
,
1
n
) ∩{A {x
0
}}。
根据构造可知{x
n
}在A中不收敛，因为{x
n
}收敛到A的边界点x
0
。
5. 证明定理1.7。
证明：(1) 假设A是距离空间X中的列紧集，{x
n
} ∈ A，且{x
n
}各点互异。 如
果{x
n
}中含有无穷多个点在A中，记{x
n
} ∩ A = {x
n
k
}，则由A是列紧以及A
包含A的所有聚点，可以得到{x
n
k
}在A中有收敛子列，从而{x
n
}在A中有收敛
子列。 如果{x
n
}中不含有无穷多个点在A中，则{ x
n
}中含有无穷多个A的边
界点，记{x
n
}中所有边界点组成的子列为 {x
n
k
}，对每个x
n
k
，存在y
k
∈ A使
得d(x
n
k
, y
k
) <
1
k
。 由 于A是 列紧 以及A 包 含A的 所 有 聚 点， 所以{y
k
}在 存
在A中的收敛子列{y
k
m
}，根据构造可以得到x
n
k
m
在A中收敛。 所以A为紧集。
(2) 假设A是距离空间X中的列紧集，B ⊂ A。若{x
n
} ⊂ B ⊂ A，则由于A是列
紧的，从而{x
n
}有子列 收敛到X中，根据定义可知B为列紧集。
