### 国科大图像处理与分析-王伟强-作业题及答案汇总-2015年版
#### 作业1解析
本题主要考察的是**直方图均衡化**的概念及其应用。直方图均衡化是一种常用的图像增强技术，通过调整图像中像素的灰度值分布来改善图像对比度，使图像细节更清晰。
##### 题目描述
给定一幅具有8个灰度级的图像，其归一化的直方图如下所示：\[ [0.17, 0.25, 0.21, 0.16, 0.07, 0.08, 0.04, 0.02] \]。任务是计算该图像经过直方图均衡化处理后的灰度级以及相应的概率，并绘制均衡化后的直方图示意图。
##### 解答步骤
1. **计算公式**：
\[
S_r = \lceil G\sum_{w=0}^{r} P_r(w) - 1 \rceil
\]
其中，\(S_r\) 是均衡化后的灰度值，\(G\) 是灰度级总数（本题中为8），\(P_r(w)\) 是灰度级\(w\)出现的概率。
2. **计算过程**：
- 计算每一灰度级的累积概率。
- 使用上述公式计算每一个新的灰度级。
- 计算新灰度级的概率。
3. **计算结果**：
- 新的灰度级及概率如下表所示：
| 原灰度级 \(r\) | 各级概率 \(P_r(r)\) | 累积概率 | 累积概率×8-1 | 向上取整 \(S_r\) |
| -------------- | ------------------- | -------- | ------------- | -------------- |
| 0 | 0.17 | 0.17 | 0.36 | 1 |
| 1 | 0.25 | 0.42 | 2.36 | 3 |
| 2 | 0.21 | 0.63 | 4.04 | 5 |
| 3 | 0.16 | 0.79 | 5.32 | 6 |
| 4 | 0.07 | 0.86 | 5.88 | 6 |
| 5 | 0.08 | 0.94 | 6.52 | 7 |
| 6 | 0.04 | 0.98 | 6.84 | 7 |
| 7 | 0.02 | 1 | 7 | 7 |
- 新灰度级的概率：
\[
P_s(0)=0,\; P_s(1)=P_r(0)=0.17,\; P_s(2)=0,\; P_s(3)=P_r(1)=0.25,
\]
\[
P_s(4)=0,\; P_s(5)=P_r(2)=0.21,\; P_s(6)=P_r(3)+P_r(4)=0.23,\; P_s(7)=\frac{P_r(5)+P_r(6)+P_r(7)}{3}=0.14
\]
4. **MATLAB代码**：
```matlab
s = 0:1:7;
p = [0 0.17 0 0.25 0 0.21 0.23 0.14]; % 更新后的概率分布
bar(s, p); % 绘制直方图
axis([-1 8 0 0.3]);
```
5. **均衡化后的直方图**：通过上述代码绘制出的直方图比原始直方图更加“均匀”。
#### 作业2解析
本题包括两个部分，分别是对直方图均衡化的理论理解和卷积运算的应用。
##### 第一部分
**习题背景**：本题要求学生理解直方图均衡化的数学基础，并能进行简单的计算。
**解答步骤**：
1. **直方图均衡化变换**：
- 对于两个给定的概率密度函数\(p_r(r)\) 和 \(p_z(z)\)，首先进行直方图均衡化变换得到\(s_1\) 和 \(s_2\)。
- 令\(s_1=s_2\)，求解\(z\) 和 \(r\) 的关系。
2. **计算过程**：
- 对于给定的概率密度函数进行积分变换，得到新的灰度级。
- 通过设定两者的积分结果相等，求解变量之间的关系。
3. **结论**：通过以上步骤可以解决该问题。
##### 第二部分
**习题背景**：本题考查学生对于向量和矩阵卷积的理解。
**解答步骤**：
1. **向量卷积**：
- 已知向量\[a=[1\,2\,3\,4\,5\,4\,3\,2\,1]\] 和 \[b=[2\,0\,-2]\]。
- 根据卷积定义，计算卷积结果\[c(x)\]。
- 结果为\[c=[2\,4\,4\,4\,4\,0\,-4\,-4\,-4\,-4\,-2]\]。
2. **矩阵卷积**：
- 已知矩阵\[b=\left[\begin{array}{ccc}-1 & 0 & 1 \\ -2 & 0 & 2 \\ -1 & 0 & 1\end{array}\right]\] 和 \[a=\left[\begin{array}{ccccccccc}1 & 3 & 2 & 0 & 4 & 1 & 0 & 3 & 2 \\ 3 & 0 & 4 & 1 & 0 & 5 & 2 & 3 & 2 \\ 1 & 4 & 3 & 1 & 0 & 4 & 2 & 1 & 4\end{array}\right]\]。
- 根据卷积定义，计算卷积结果\[c(x,y)\]。
**总结**：以上两道题目的解答展示了直方图均衡化的基本原理和卷积运算在图像处理中的应用。这些概念和技术在实际的图像处理领域中非常常见，是学习该领域的基础知识。
