图像处理&一幅8灰度级图像具有如下所示的直方图，求直方图均衡后的灰度级和对应概率，并画出均衡后的直方图的示意图。（计算中采用向上取整方法，图中的8个不同灰度级对应的归一化直方图为[0.17 0.25 0.21 0.16 0.07 0.08 0.04 0.02]
### 国科大王伟强图像处理作业解析
#### 知识点一：直方图均衡化
**定义与原理**：
直方图均衡化是一种常见的图像增强技术，主要用于改善图像对比度。其核心思想是对图像进行一种非线性拉伸，使图像的灰度值在整体上更均匀地分布，从而提高图像的视觉效果。具体来说，通过直方图均衡化可以使得原本灰度值分布不均的图像变得更加均匀。
**计算公式**：
直方图均衡化的基本公式为：
\[ S_k = T(r_k) \]
其中 \( S_k \) 是经过变换后的灰度级，\( r_k \) 是原始图像中的灰度级，而 \( T(r_k) \) 则是用于映射的函数，通常表示为累积分布函数 (CDF) 的形式。对于一幅具有 \( G \) 个灰度级的图像，累积分布函数可以表示为：
\[ T(r_k) = \sum_{j=0}^{k} p_r(j) \]
这里 \( p_r(j) \) 表示第 \( j \) 灰度级出现的概率。
**例题解析**：
给定一个8灰度级图像的归一化直方图 [0.17 0.25 0.21 0.16 0.07 0.08 0.04 0.02]，我们需要求出直方图均衡化后的灰度级和对应概率。
**步骤一：计算累积分布函数**
根据累积分布函数的定义，我们可以得到如下表所示的结果：
| 灰度级 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
|--------|---|---|---|---|---|---|---|---|
| pr | 0.17 | 0.25 | 0.21 | 0.16 | 0.07 | 0.08 | 0.04 | 0.02 |
| Sr | 0.17 | 0.42 | 0.63 | 0.79 | 0.86 | 0.94 | 0.98 | 1.00 |
这里我们采用了向上取整的方法，因此得到的新灰度级分别为 [0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7]。
**步骤二：计算新的灰度级概率**
接下来，我们需要计算新的灰度级概率 \( Ps \)。由于我们已经得到了累积分布函数 \( Sr \)，因此可以直接利用它来计算每个灰度级的新概率。按照题目要求，采用向上取整方法，计算结果如下：
- \( Ps(0) = 0 \)（由于灰度级 0 的概率为 0，所以 \( Ps(0) \) 也为 0）
- \( Ps(1) = Pr(0) = 0.17 \)
- \( Ps(2) = 0 \)（因为 \( Sr(1) = 0.42 \)，没有落在第二个灰度级区间内）
- \( Ps(3) = Pr(1) = 0.25 \)
- \( Ps(4) = 0 \)（同上）
- \( Ps(5) = Pr(2) = 0.21 \)
- \( Ps(6) = Pr(3) + Pr(4) = 0.16 + 0.07 = 0.23 \)
- \( Ps(7) = Pr(5) + Pr(6) + Pr(7) = 0.08 + 0.04 + 0.02 = 0.14 \)
**步骤三：绘制均衡后的直方图示意图**
根据上述计算结果，我们可以得到均衡后的直方图。均衡后的归一化直方图可以近似为 [0.00 0.17 0.00 0.25 0.00 0.21 0.23 0.14]。这里需要注意的是，由于采用了向上取整的方法，所以实际概率分布可能会有所变化。
**MATLAB代码实现**：
为了直观展示直方图均衡化的效果，我们可以使用MATLAB编写代码并绘制均衡后的直方图。示例代码如下：
```matlab
s = 0:1:7;
p = [0 0.17 0 0.25 0 0.21 0.23 0.14]; % 新的概率分布
bar(s, p); % 绘制直方图
axis([-1 8 0 0.3]); % 设置坐标轴范围
```
通过以上步骤，我们可以清楚地看到直方图均衡化后图像灰度值分布的变化，从而使图像对比度得到显著提升。
#### 知识点二：图像卷积运算
**定义与原理**：
图像卷积运算是图像处理中的基本操作之一，广泛应用于图像平滑、锐化、边缘检测等领域。卷积运算实质上是两个函数的数学运算，其中一个函数通常代表图像，另一个函数则称为核函数或滤波器。卷积运算的过程可以理解为对图像中的每个像素与其邻域像素进行加权求和。
**卷积公式**：
卷积的数学表达式为：
\[ (f * g)(t) = \int_{-\infty}^{\infty} f(\tau)g(t - \tau)d\tau \]
对于离散图像，卷积运算可表示为：
\[ (f * g)(n, m) = \sum_{i=-\infty}^{\infty}\sum_{j=-\infty}^{\infty} f(i, j)g(n - i, m - j) \]
**例题解析**：
题目给出了两个具体的卷积运算示例，分别为向量与向量的卷积以及向量与矩阵的卷积。
**向量与向量的卷积**：
给定向量 \( a = [1 2 3 4 5 4 3 2 1] \) 和向量 \( b = [2 0 -2] \)，我们需要计算这两个向量的卷积结果。根据卷积的定义，我们首先需要确定卷积结果的长度，然后按公式逐项计算。
**向量与矩阵的卷积**：
给定向量
\[ a = \begin{pmatrix} 3 & 2 & 1 \\ 4 & 1 & 2 \\ 1 & 3 & 4 \end{pmatrix} \]
和矩阵
\[ b = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 1 \\ -1 & 0 & 1 \\ -1 & 0 & 1 \end{pmatrix} \]
我们需要计算这两个矩阵的卷积结果。同样地，根据卷积的定义进行计算。
**小结**：
通过本题的学习，我们不仅加深了对直方图均衡化的理解和应用，还掌握了图像卷积运算的基本原理和计算方法。这些知识对于进一步深入学习图像处理和计算机视觉领域至关重要。
