零基础入门无约束优化理论

零基础入门无约束优化理论 零基础入门无约束优化理论是指在机器学习和优化领域中，不需要任何先验知识和约束条件，即从零开始学习和优化的理论。该理论涵盖了梯度下降、牛顿法、Adam 等优化算法，旨在帮助读者快速掌握优化理论和算法的基础知识。 1. 梯度下降 梯度下降是最常用的优化算法之一，它通过迭代计算梯度的值来寻找函数的最小值。梯度下降法的核心思想是沿着梯度方向搜索函数的最小值。为了计算梯度，需要了解方向导数和偏导数的概念。 方向导数是指函数在某个点沿某个方向的变化率。方向导数的定义是：若存在，则该极限值就是在点沿方向的方向导数，记作。偏导数是指函数在某个点沿某个方向的偏导数，定义为。 方向导数与偏导数的关系是：当时，方向导数当时，方向导数。结论是：沿梯度方向的方向导数最大，由于导数为正，函数递增，因此在的邻域内沿梯度方向函数增加最快，沿负梯度方向函数减小最快。 梯度是指函数在某个点的梯度，定义为。在可微的前提下：其中， 为与 之间的夹角。结论是：沿梯度方向的方向导数最大，由于导数为正，函数递增，因此在的邻域内沿梯度方向函数增加最快，沿负梯度方向函数减小最快。 梯度与等高线的关系是：梯度垂直与等高线的切线。 梯度下降法的步骤是：设损失函数为，优化目标为：则使用梯度下降法求解的步骤为：如果两次迭代间的差值大于指定的阈值，则。 2. 牛顿法 牛顿法是另一种常用的优化算法，它通过迭代计算函数的零点来寻找函数的最小值。牛顿法的核心思想是使用泰勒展开来近似函数，并使用牛顿迭代法来求解函数的零点。 牛顿迭代法的步骤是：设损失函数为，优化目标为：假设的极小值点存在，则求的最小值等价于求的点。令，根据牛顿迭代法，如果要求的点，则迭代公式为： 3. Adam Adam算法是自适应时刻估计方法（Adaptive Moment Estimation），能计算每个参数的自适应学习率。Adam算法的公式为： 计算 历史梯度的一阶指数平滑值，用于得到带有动量的梯度值 计算 历史梯度平方的一阶指数平滑值，用于得到每个权重参数的学习率 计算变量更新值，由公式3可知，变量更新值正比于历史梯度的一阶指数平滑值，反比于历史梯度平方的一阶指数平滑值 通过学习这三个优化算法，读者可以快速掌握零基础入门无约束优化理论的基础知识，并应用于实际机器学习和优化问题中。