离散数学是一门重要的数学分支，它主要研究不连续或离散对象的结构和性质，广泛应用于计算机科学、信息处理等领域。本章我们将探讨组合数学和数论的基础知识，这两个领域在离散数学中占据核心地位。
1. 排列与组合问题：
问题1和3都是关于排列的问题。排列是指从n个不同元素中取出m个元素进行排列，其中顺序重要。对于问题1，6人比赛无并列名次，甲在乙前的排列数可以通过总排列数减去甲在乙后的排列数得到。6人的全排列数为6! = 720，甲在乙前或后的可能性各占一半，所以甲在乙前有360种情况。
问题3中，A和B的放置有限制条件，A不能在1或2位置，B必须在4、5或6位置。先考虑B的放置，有3种选择；然后考虑A，有3种选择（剩下的3个位置）；其余4个字母没有限制，全排列为4!。因此总安排次数为3 × 4! = 3 × 24 = 72。
2. 乘法原理：
问题2展示了乘法原理的应用，乘法原理指出，如果一个事件发生有m种方法，另一个独立的事件发生有n种方法，那么两个事件连续发生有m × n种方法。在这个例子中，机箱款式有2种，CPU型号有3种，内存有3种选择，显示器只有一种要求。所以，可以组装的计算机款式数为2 × 3 × 3 = 18种。
3. 最大公约数与最小公倍数：
问题4中，求两个数的最大公约数（GCD）和最小公倍数（LCM）可以使用辗转相除法（欧几里得算法）。对于2809和6731，经过一系列除法运算，最大公约数是53，而最小公倍数是2809 × 6731 ÷ 53 = 35674356。
4. 质数分解与因子计数：
问题5涉及质数分解和计算一个数的正因子数。质数分解是将一个合数写成质数的乘积。9298可以分解为2 × 4649，其中4649也是质数。一个合数的正因子数等于其质因数分解中每个质因子的指数加1的乘积。因此，9298的因子数为(2 + 1) × (1 + 1) = 4。
5. 数制转换：
问题6是关于数制转换的。五进制数234.4321转换为十进制数是通过权重求和完成的。转换后为9376.9376，保留五进制小数点后五位，然后将此十进制数转换为六进制数，得到153.53430。
离散数学中的组合数学和数论是解决各种实际问题的基础工具，包括排列组合、乘法原理、整数的性质以及不同数制之间的转换等。理解和掌握这些概念对于学习和应用计算机科学至关重要。
