随机过程与排队论习题答案

### 随机过程与排队论中的关键知识点解析 #### 一、随机过程的基本概念及一维、二维分布 在给定的习题解答中，我们首先了解到的是一个具体的随机过程模型，即 \(X(t) = A + Bt\)，其中 \(t \geq 0\)，\(A\) 和 \(B\) 是相互独立的随机变量，且都服从标准的高斯分布（即均值为 0，方差为 1 的正态分布）。这一模型对于理解随机过程的基础概念至关重要。 **一维分布的求解方法**： - **均值**：\(E[X(t)] = E[A] + E[Bt] = 0\) - **方差**：\(D[X(t)] = D[A] + D[Bt] = 1 + t^2\) 由此得到随机过程 \(X(t)\) 在任一时间点 \(t\) 的一维分布为 \(X(t) \sim N(0, 1 + t^2)\)。这里的关键在于，由于 \(A\) 和 \(B\) 均服从高斯分布，且 \(X(t)\) 是它们的线性组合，因此 \(X(t)\) 也服从高斯分布。 **二维分布的求解方法**： 接下来，题目要求我们计算任意两个时间点 \(t_1 > 0\) 和 \(t_2 > 0\) 下 \(X(t)\) 的二维分布。我们知道，在这两个时间点上，\(X(t)\) 可以表示为 \(X(t_1) = A + Bt_1\) 和 \(X(t_2) = A + Bt_2\)。由于 \(A\) 和 \(B\) 相互独立且均为高斯分布，\(X(t_1)\) 和 \(X(t_2)\) 构成的向量也服从二维高斯分布。 - **数学期望向量**：\(m = (0, 0)^T\) - **协方差矩阵**：\(K = \begin{bmatrix} 1 + t_1^2 & t_1t_2 \\ t_1t_2 & 1 + t_2^2 \end{bmatrix}\) 通过计算数学期望向量和协方差矩阵，我们可以得到 \(X(t)\) 的二维高斯分布形式。 #### 二、随机相位过程的特征函数及其统计特性 接下来，我们分析一个随机相位过程 \(X(t) = a\cos(\omega_0t + \phi)\)，其中 \(a\) 和 \(\omega_0\) 是正的常数，而 \(\phi\) 是在 \((-π, π)\) 上均匀分布的随机变量。本节将讨论如何利用特征函数来求解随机相位过程的概率密度、均值函数、方差函数以及自相关函数。 **概率密度的求解方法**： 已知 \(\phi\) 的概率密度为 \(f_{\phi}(\phi) = \frac{1}{2\pi}, -\pi < \phi < \pi\)，可以求得 \(X(t)\) 的特征函数，并进一步得到其概率密度函数 \(f_X(x)\)。通过积分运算和周期函数的性质，最终得到 \(X(t)\) 的概率密度函数为 \[f_X(x) = \left\{\begin{array}{ll} \frac{1}{a\sqrt{2\pi}}\exp\left(-\frac{x^2}{2a^2}\right) & |x| < a \\ 0 & \text{其他} \end{array}\right.\] **均值函数、方差函数和自相关函数的求解方法**： - **均值函数**：根据定义，\(EX(t) = Ea\cos(\omega_0t + \phi) = 0\)（这是因为 \(\phi\) 的对称性）。 - **方差函数**：\(DX(t) = a^2/2\)。这是通过对 \(X(t)\) 的平方进行积分得到的。 - **自相关函数**：\(R_{XX}(t_1, t_2) = a^2/2 \cos(\omega_0(t_1 - t_2))\)。这是通过计算不同时间点 \(X(t_1)\) 和 \(X(t_2)\) 的乘积的期望值得到的。 通过对这些习题的解答，我们可以深入理解随机过程的一维和二维分布的计算方法，以及如何利用特征函数求解随机相位过程的概率密度和统计特性。这些方法不仅适用于本题的具体情境，也为解决更广泛的随机过程问题提供了有力的工具和技术支持。