【数学建模实验】是高校数学教育中一种重要的实践教学环节，旨在让学生通过实际操作来理解和应用数学理论解决实际问题。在这个实验中，主要涉及了图论和网络优化的知识。
一、实验目的
1. 熟悉图与网络的数据结构，理解节点和边的概念，以及如何将这些数据转化为矩阵或图形表示。
2. 掌握使用MATLAB或Lingo等软件工具，对图与网络模型进行求解，实现从模型构建到求解的全过程。
二、实验内容
实验中涉及了两个具体问题：
1. 医院选址问题：考虑6个村庄的小学生人数和村庄间的距离，目标是确定医院的最佳位置，使得最远村庄的学生到医院的距离最短。这个问题可以通过构建赋权完全图，运用Floyd算法计算任意两点之间的最短路径来解决。实验中，通过构建邻接矩阵并找到每列的最大值，找到了第3个村庄作为医院的最佳选址，因为从第3个村庄出发到其他村庄的最短距离总和最小，为6。
2. 煤炭调运问题：甲、乙两个煤矿向A、B、C三个电厂供应煤炭，需要确定最优的运输方案，以最小化运输成本。这个问题可以转换为运输问题，用线性规划的方法来解决，例如使用LINGO软件。实验中，建立了包含煤矿、电厂及它们之间的距离的数据模型，并设定了运输成本和需求量，通过模型求解得到最优的煤炭调运策略。
三、实验过程与结果
1. 医院选址问题，通过Floyd算法计算出村庄间的最短距离矩阵，确定了医院应建在第3个村庄。
2. 小学选址问题，通过构建矩阵并乘以小学生人数矩阵，计算出各个村庄作为小学选址时，所有学生上学的总路程。实验结果表明，第4个村庄作为小学的选址可以使总路程最短，为1050。
四、知识点解析
- 图论：图论是数学的一个分支，用于描述对象之间的关系。在这个实验中，图论被用来表示村庄间的距离，构建赋权完全图，并通过Floyd算法找到最短路径。
- 网络优化：网络优化通常涉及到最小化或最大化某个目标函数，例如在运输问题中最小化运输成本。实验中的煤炭调运问题就是网络优化的一个实例。
- 线性规划：线性规划是一种优化方法，用于求解线性目标函数在满足一系列线性约束条件下的最大值或最小值。煤炭调运问题通过线性规划模型求解最优解。
- MATLAB/Lingo软件：这些工具提供了便捷的环境来构建、求解和分析数学模型，对于复杂的优化问题尤其有用。
通过这样的实验，学生不仅能够深入理解数学模型的实际应用，还能提高使用计算机软件解决实际问题的能力，对提升数学建模素养大有裨益。
