格雷戈里-莱布尼茨公式是数学中一个经典的无穷级数，用于近似计算圆周率π。这个公式由17世纪的数学家詹姆斯·格雷戈里和戈特弗里德·莱布尼茨独立发现，表达式如下：
\[ \pi = 4 \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{2n+1} = 4 \left( \frac{1}{1} - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \cdots \right) \]
这个公式通过交替正负项的级数和来逐渐逼近π的值。在实际编程中，我们通常会设定一个误差阈值，比如10的-6次方，当连续两项的差的绝对值小于这个阈值时停止计算。以下是使用Python、C语言和C++实现该公式的代码示例。
### Python 实现
```python
t = 1.0
pi = 0
n = 1.0
s = 1
while abs(t) >= 1e-6:
pi = pi + t
n += 2.0
s = -s
t = s / n
pi = pi * 4
print("pi={}".format(pi))
```
在这个Python程序中，我们初始化`t`为1.0，`pi`为0，`n`为1.0，`s`为1。然后在循环中，我们不断更新π的近似值，直到`t`的绝对值小于10的-6次方。每次迭代，我们增加`n`的值，改变`s`的符号，然后更新`t`为`s`除以`n`的新值。最后乘以4得到π的近似值。
### C 语言实现
```c
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <math.h>
int main() {
int s;
float n, t, pi;
t = 1.0;
pi = 0;
n = 1.0;
s = 1;
while (fabs(t) >= 1e-6) {
pi = pi + t;
n += 2.0;
s = -s;
t = s / n;
}
pi = pi * 4;
printf("pi=%f\n", pi);
}
```
C语言版本与Python类似，但需要注意类型转换和使用`fabs`函数处理浮点数的绝对值。
### C++ 实现
C++有两种不同的实现方式，一种是基于原始C风格的实现，类似于C语言版本，另一种是使用C++的`iostream`库进行输入输出。
**C风格的C++实现**
```cpp
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <math.h>
int main() {
int s;
float n, t, pi;
t = 1.0;
pi = 0;
n = 1.0;
s = 1;
while (fabs(t) >= 1e-6) {
pi = pi + t;
n += 2.0;
s = -s;
t = s / n;
}
pi = pi * 4;
printf("pi=%f\n", pi);
}
```
**C++ iostream 库实现**
```cpp
#include <iostream>
int main() {
int Operator = 1;
double x, sum = 0;
for (int i = 1; 1.0 / i > 1e-6; i += 2, Operator *= -1) {
x = Operator * 1.0 / i;
sum += x;
}
std::cout << sum * 4 << std::endl;
return 0;
}
```
在这个C++版本中，我们使用了C++的`iostream`库来处理输入输出，`for`循环取代了`while`循环，并且没有使用中间变量`s`。同样，当连续项的分母大于10的-6次方时，计算停止。
以上三个程序都是利用格雷戈里-莱布尼茨公式计算π的近似值，根据设定的精度阈值，可以得到不同精度的结果。在实际应用中，还可以优化这些代码，例如使用递归或其他数值方法来提高效率。
