第2章-空间描述和变换.pdf

### 第二章 空间描述和变换 #### 2.1 概述 在工业机器人的应用技术中，为了实现零件和工具的空间移动，必须能够精确地描述这些物体的位置和姿态。通常采用的方法是为零件、工具以及机器人本身设置固定的坐标系。这样做的目的是为了准确地描述刚体的位置与姿态。 **世界坐标系** 是所有其他坐标系参照的基准，所有的位置和姿态都是基于世界坐标系或由其定义的笛卡尔坐标系来定义的。位置和姿态的描述不仅是运动的基础，也是表达线速度、角速度、力和力矩的基础。 #### 2.2 描述：位置、姿态与位姿 ##### 位置描述 位置通常指的是坐标系的原点，可以通过一个3×1的位置矢量来表示任何点在世界坐标系中的位置。例如，如果有一个点P在坐标系{A}中的位置可以用\(\mathbf{p}_{A}\)来表示，那么这个位置矢量\(\mathbf{p}_{A}\)包含了三个分量，即该点沿x、y和z轴的投影。 ##### 姿态描述 姿态描述则是通过固定在刚体上的坐标系的坐标轴单位矢量来表示的。具体来说，可以使用一个3×3的矩阵——旋转矩阵\(R\)来表示两个坐标系之间的相对旋转关系。例如，若想描述坐标系{B}相对于坐标系{A}的姿态，则可以使用旋转矩阵\(R_{B}^{A}\)。其中每个元素\(r_{ij}\)表示坐标系{B}的第\(j\)个轴在坐标系{A}的第\(i\)个轴上的投影。 旋转矩阵的一个关键性质是其行列式的值恒为1，并且它满足以下等式： \[ R_{B}^{A} \cdot (R_{B}^{A})^T = I \] 这里\(I\)是单位矩阵，这意味着旋转矩阵的转置等于其逆矩阵。 ##### 位姿描述 位姿描述结合了位置和姿态的信息，通常包括坐标系的原点位置以及描述坐标系之间相对旋转的旋转矩阵。因此，一个完整的位姿描述通常包含四个信息：三个用于表示姿态的单位矢量和一个用于表示位置的3×1矢量。 #### 2.3 映射：从坐标系到坐标系的变换 在工业机器人领域，经常需要在不同的坐标系之间进行变换。这种变换可以分为两大类：平移变换和旋转变换。 1. **平移变换**：仅改变位置而不改变姿态。平移可以通过将一个坐标系的原点移到另一个坐标系的原点来实现。 2. **旋转变换**：仅改变姿态而不改变位置。旋转可以通过绕坐标轴转动一个坐标系来实现。 #### 2.4 算子：平移、旋转和变换 在描述空间中的平移、旋转和复合变换时，通常会使用到矩阵运算。例如，对于平移变换，可以使用一个4×4的齐次变换矩阵来表示。这种矩阵不仅可以表示平移，还可以表示旋转，从而实现更复杂的变换。 #### 2.5 总结和说明 通过对位置、姿态和位姿的描述，我们可以准确地理解和控制工业机器人在三维空间中的动作。位置描述了坐标系的原点在空间中的位置，而姿态描述了坐标系之间的相对旋转关系。位姿则结合了位置和姿态的信息，全面地描述了坐标系的状态。 #### 2.6 变换算法 变换算法是实现坐标系之间变换的关键。这些算法通常涉及到矩阵乘法和求逆等数学操作。例如，在进行旋转变换时，可以通过旋转矩阵来实现；在进行平移变换时，则需要使用齐次变换矩阵。 #### 2.7 变换方程 变换方程用来表示坐标系之间变换的具体数学表达式。例如，对于一个坐标系{A}到坐标系{B}的变换，可以使用以下方程表示： \[ p_{B} = R_{B}^{A} \cdot p_{A} + t_{B}^{A} \] 这里\(p_{A}\)是坐标系{A}中某一点的位置矢量，\(p_{B}\)是该点在坐标系{B}中的位置矢量，\(R_{B}^{A}\)是从坐标系{A}到坐标系{B}的旋转矩阵，\(t_{B}^{A}\)是从坐标系{A}到坐标系{B}的平移矢量。 #### 2.8 姿态的其他描述方法 除了使用旋转矩阵来描述姿态之外，还有其他几种常用的方法，如四元数、欧拉角等。这些方法各有优缺点，可以根据实际应用场景选择最合适的方法。 #### 2.9 自由矢量的变换 自由矢量是指没有固定起点的矢量。在描述自由矢量的变换时，通常只需要考虑旋转变换而不需要考虑平移变换。 #### 2.10 计算分析 为了确保变换的准确性，需要进行详细的计算分析。这包括对变换过程中的误差来源进行分析、评估变换算法的效率以及优化计算过程等。 本章节详细介绍了工业机器人应用技术中的空间描述和变换的基本概念和技术，这对于理解和实现工业机器人的精确控制至关重要。通过掌握这些基本概念和技能，工程师们能够更好地设计和开发出高效、可靠的机器人系统。