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Time Series: Theory and Methods ，Peter 教材细读第一章平稳时间序列

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时间序列

平稳时间序列

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多元正态分布

随机过程

平稳和严平稳

趋势项和季节项的估计和分离

Kolmogorov 定理的应用

平稳时间序列

September 15, 2022

平稳时间序列

多元正态分布

随机过程

平稳和严平稳

趋势项和季节项的估计和分离

Kolmogorov 定理的应用

1. 向量的均值与协方差阵

n 维向量是每一分量都是随机变量的列向量. 令 X = (X

, X

, ··· ,X

)

, Y =

, Y

, ··· ,Y

)

；对于每一 i，都有 E|X

< ∞,E|Y

< ∞,i = 1,2,··· , n.

• 数学期望

= EX = (EX

, EX

, ·· · , EX

)

. (1)

• 协方差阵

= Cov(X, Y) = E[(X − EX)(Y − EY)]

= E(XY

) − (EX)(EY)

, (2)

其中，Σ

的第 (i, j) 元是随机变量 X

与 Y

的协方差，即

Cov(X

, Y

) = E(X

) − E(X

)E(Y

)

平稳时间序列

多元正态分布

随机过程

平稳和严平稳

趋势项和季节项的估计和分离

Kolmogorov 定理的应用

命题 1.1.1 设 a 是一 m 维列向量，B 是一 m × n 矩阵，X = (X

, X

, ·· · , X

)

是 n 维随机向量，且 E|X

< ∞,i = 1, 2, ··· , n，则随机向量

Y = a + BX (3)

的均值为

EY = a + BEX, (4)

协方差为

= BΣ

. (5)

平稳时间序列

多元正态分布

随机过程

平稳和严平稳

趋势项和季节项的估计和分离

Kolmogorov 定理的应用

命题 1.1.2 协方差阵是对称非负定矩阵，即对一切 b = (b

, b

, ·· · , b

)

∈ R

，有 b

b ≥ 0.

命题 1.1.3 任一对称非负定 n × n 矩阵 Σ 可表示为：Σ = PΛP

，其中 P 是

一正交矩阵，Λ = diag(

, ·· · ,

)，

, ·· · ,

是 Σ 的非负特征值.

平稳时间序列

多元正态分布

随机过程

平稳和严平稳

趋势项和季节项的估计和分离

Kolmogorov 定理的应用

2.n 元正态分布

称随机向量 Y = (Y

, Y

, ·· · , Y

)

为 n 元正态随机变量 (或服从于 n 元正态

分布)，如果存在 m 维列向量 a，m × n 矩阵 B 以及其分量 X

(i = 1 ,·· · , n) 是独

立同分布的标准正态分布随机变量的随机向量 X = (X

, ·· · , X

)

，使得

Y = a + BX. (6)

在 (6) 中，(X

, ·· · , X

)

的联合分布密度为

(x) = (2

)

−

exp(−

∑

j=1

), x = (x

, ·· · , x

)

∈ R

, (7)

相应的特征函数是

(x) = Ee

= exp (−

∑

j=1

), u = (u

, ·· · , u

)

∈ R

, (8)

平稳时间序列

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