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Matlab第一次上机作业.pdf
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第一次上机作业
数值实验题三
2.用有限差分法(五点分格式)求解正方形域上的 Poission 方程边值问题
𝝏
𝟐
𝒖 𝝏
𝟐
𝒖
−(
𝟐
+
𝟐
)=𝒇
(
𝒙,𝒚
)
=𝟐
𝝏𝒙 𝝏𝒚
𝒖
(
𝟎,𝒚
)
=𝒖
(
𝟏,𝒚
)
=𝒖
(
𝒙,𝟎
)
=𝒖
(
𝒙,𝟏
)
=𝟎
用 MATLAB 语言编写求解线性方程组 Au=f 的算法程序,采用下列方法计算
结果和算法性能,对计算结果给出结论。
(1)用 Jacobi 迭代法求解线性方程组 Au=f;
(2)用块 Jacobi 迭代法求解线性方程组 Au=f;
(3)用(预条件)共轭斜量法求解线性方程组 Au=f。
解:
1、基本原理说明:
首先剖分求解区域。用平行于坐标轴的直线
𝑥=𝑥
𝑖
=𝑖ℎ,𝑦=𝑦
𝑖
=𝑗ℎ,ℎ=
1
𝑁+1
𝑖,𝑗=0,1,···,𝑁,𝑁+1
将求解区域分为网格。然后用数值微分公式对微分算子进行离散。
𝜕
2
𝑢 𝑢
(
𝑥
𝑖−1
,𝑦
𝑖
)
−2𝑢
(
𝑥
𝑖
,𝑦
𝑖
)
+𝑢
(
𝑥
𝑖+1
,𝑦
𝑖
)
( )
𝑥,𝑦 = +𝑂
(
ℎ
2
)
𝑖 𝑖
2 2
𝜕𝑥 ℎ
𝜕
2
𝑢 𝑢
(
𝑥
𝑖
,𝑦
𝑖−1
)
−2𝑢
(
𝑥
𝑖
,𝑦
𝑖
)
+𝑢
(
𝑥
𝑖
,𝑦
𝑖+1
)
( )
𝑥
𝑖
,𝑦
𝑖
= +𝑂
(
ℎ
2
)
2 2
𝜕𝑦 ℎ
即有
𝑢
𝑖−1,𝑗
−2𝑢
𝑖,𝑗
+𝑢
𝑖+1,𝑗
𝜕
2
𝑢
( )
𝑥,𝑦 ≈
𝜕𝑥
2
𝑖 𝑖
ℎ
2
𝑢
𝑖,𝑗−1
−2𝑢
𝑖,𝑗
+𝑢
𝑖,𝑗+1
𝜕
2
𝑢
( )
𝑥,𝑦 ≈
𝜕𝑦
2
𝑖 𝑖
ℎ
2
其中,u
ij
表示 u(x
i
, y
i
)的近似值。得到在每个点(x
i
, y
i
)上的有限差分方程为:
4𝑢
𝑖,𝑗
−𝑢
𝑖−1,𝑗
−𝑢
𝑖+1,𝑗
−𝑢
𝑖,𝑗−1
−𝑢
𝑖,𝑗+1
=ℎ
2
𝑓
𝑖𝑗
(
1≪𝑖,𝑗≪𝑁
)
又称五点差分格式。其中 f
ij
=f(x
i
, y
i
)。在边界上,有
𝑢
0,𝑗
=𝑢
𝑁+1,𝑗
=𝑢
𝑖,0
=𝑢
𝑖,𝑁+1
=0
(
1≪𝑖,𝑗≪𝑁
)
(3-74)
(3-75)
对非边界点编号,顺序为对直线 y=yi 从上往下,对固定的一条直线的网点从左往右依
次编号,即有
(
𝑥
1
,𝑦
1
)
,
(
𝑥
2
,𝑦
1
)
,···,
(
𝑥
𝑁
,𝑦
1
)
,
(
𝑥
1
,𝑦
2
)
,
(
𝑥
2
,𝑦
2
)
,
(
𝑥
2
,𝑦
2
)
,···,
(
𝑥
𝑁
,𝑦
2
)
,···,
(
𝑥
1
,𝑦
𝑁
)
,
(
𝑥
2
,𝑦
𝑁
)
,···,
(
𝑥
𝑁
,𝑦
𝑁
)
相应的解向量和右端向量分别为
𝑢=(𝑢
1,1
,𝑢
2,1
,···,𝑢
𝑁,1
,𝑢
1,2
,𝑢
2,2
,···,𝑢
𝑁,2
,···,𝑢
1,𝑁
,𝑢
2,𝑁
,···,𝑢
𝑁,𝑁
)
𝑇
𝑓=ℎ
2
(𝑓
1,1
,𝑓
2,1
,···,𝑓
𝑁,1
,𝑓
1,2
,𝑓
2,2
,···,𝑓
𝑁,2
,···,𝑓
1,𝑁
,𝑓
2,𝑁
,···,𝑓
𝑁,𝑁
)
𝑇
由 3-74 和 3-75 得差分方程组
4𝑢
𝑖,𝑗
−𝑢
𝑖−1,𝑗
−𝑢
𝑖+1,𝑗
−𝑢
𝑖,𝑗−1
−𝑢
𝑖,𝑗+1
=ℎ
2
𝑓
𝑖𝑗
𝑢
0,𝑗
=𝑢
𝑁+1,𝑗
=𝑢
𝑖,0
=𝑢
𝑖,𝑁+1
=0
(
1≪𝑖,𝑗≪𝑁
)
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