利用最小二乘法进行数据拟合.docx

最小二乘法是一种常用的数据拟合方法，尤其在处理线性和非线性模型时。它主要应用于当实际观测数据与理论模型之间存在误差的情况下，通过调整模型参数来使得这些误差的平方和最小。这种方法在统计学和工程领域都有广泛应用，如在数据分析、信号处理、机器学习等场景。 在给定的例子中，我们有一个低温过程中的数据，其中函数y依赖于温度(C)。我们想要找到一个经验公式y = aθ + bθ^2来描述这个关系，其中a和b是待确定的参数。最小二乘法提供了一个解决这个问题的框架。 首先，我们需要将观测数据表示为点(x_i, y_i)，其中x_i是温度，y_i是对应的函数值。理论上来讲，如果没有测量误差，所有数据点都应该落在理论曲线上。然而，由于存在误差，数据点会围绕理论曲线分布。 最小二乘法的基本思想是，假设误差是随机的且服从正态分布，具有零均值和标准差σ。为了找到最佳的参数a和b，我们寻找一组参数使得所有数据点的残差平方和最小，即： S = Σ[(y_i - (a + bθ_i))^2] 通过对S关于a和b求偏导数并令它们等于0，我们可以得到一组线性方程来解出a和b。这通常涉及到构造雅可比矩阵或Vandermonde矩阵，然后用高斯消元法或其他线性代数方法求解。 在MATLAB中，我们可以编写一个主程序来执行这些计算。例如，`zxecf.m`函数会负责构建矩阵并求解，而`phi_k.m`函数可能用于计算每个数据点在特定多项式下的值。通过循环遍历所有数据点，计算权重矩阵和目标函数向量，然后使用矩阵运算求解最小二乘问题。 一旦找到最佳的a和b，我们可以用这些参数来绘制拟合曲线，与原始数据点进行对比，以评估模型的适用性。此外，我们还可以计算残差平方和R²，它表示模型解释了数据变异的百分比。如果R²接近1，那么模型对数据的拟合就很好。 在评价拟合效果时，我们还可以计算残差的标准误差和卡方检验（χ²检验）。标准误差可以帮助我们了解数据点相对于拟合曲线的平均偏离程度，而χ²检验则可以判断模型的残差是否符合正态分布以及模型是否合理。如果χ²统计量与自由度相匹配，那么我们可以说模型对数据的拟合是接受的。 总的来说，最小二乘法是通过优化误差平方和来确定模型参数的一种有效方法，它不仅适用于简单的线性关系，也可以扩展到更复杂的非线性模型。在MATLAB这样的环境中，我们可以方便地实现和评估这种拟合。