非线性规划是一种优化问题，其中目标函数和/或约束条件至少包含一个非线性项。在实际工程、经济和管理等领域中，由于现实情况的复杂性，非线性规划问题非常常见。MATLAB作为一款强大的数值计算软件，提供了解决这类问题的功能。
本例题是一个关于发动机生产的非线性规划问题。目标是确定每个季度应生产多少台发动机，以满足合同需求的同时，使总成本（包括生产费用和库存费用）最小化。问题的约束条件包括每个季度的交货量、存储费用和生产能力。
目标函数是总费用F(x)，由三个季度的生产费用（T1、T2、T3）和存储费用（k1、k2）组成。生产费用f(x) = ax + bx^2，其中a和b分别为常数，x为每季度生产台数。存储费用为每季度每台c元。根据题目设定，a = 50, b = 0.2, c = 4。构建的非线性规划模型如下：
总费用函数 F(x) = T1 + T2 + T3 + k1 + k2 = 10300 + 0.2(x1^2 + x2^2) + 0.2(210 - x1 - x2)^2 + 4(2x1 + x2 - 120)
约束条件包括：
1. 合同约束：每个季度的交货量之和有上限和下限，120 ≤ x1 + x2 ≤ 210。
2. 生产能力约束：每个季度的生产量不能超过100台，50 ≤ x1 ≤ 100, 0 ≤ x2 ≤ 100。
为了解决这个问题，MATLAB 使用了内置的优化工具箱，特别是 `quadprog` 函数，这是一个用于解决凸二次规划问题的函数。在M-文件中，首先定义了参数a、b、c和矩阵H、C、A1、b1、A2、b2、v1、v2，然后调用 `quadprog` 函数进行优化求解。
M-文件的主要代码段如下：
```matlab
a=50;
b=0.2;
c=4;
H=diag(2*b*ones(1,3));
C=[a+2*c,a+c,a];
A1=[-1,0,0;-1,-1,0];
b1=[-50,-120]';
A2=[1 1 1];
b2=210;
v1=[0 0 0]';
v2=[100 100 100]';
[x,faval,exitflag,output,lambada]=quadprog(H,C,A1,b1,A2,b2,v1,v2,[]);
X2=x'*H*x/2+C*x-140*c
```
运行这段代码后，MATLAB 输出了最优解：
x = [60.0000, 70.0000, 80.0000]
faval = 1.4240e+004
这表示最优化的生产计划是第一季度生产60台，第二季度生产70台，第三季度生产80台，总费用为14240元。此外，`exitflag = 1` 表明优化过程成功完成，输出的其他信息提供了关于迭代次数、约束违反情况以及算法状态等详细信息。
通过MATLAB的优化工具箱，我们能够有效地解决这个非线性规划问题，找到既满足合同需求又使总成本最低的生产策略。这在实际工程问题中具有广泛的应用价值，帮助决策者制定最优决策。
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