【知识点详解】
在高中数学中，利用导数研究函数的单调性是微积分的一个核心概念。这个主题主要涉及以下几个方面：
1. **不含参数的函数的单调性**：
- 函数的单调性取决于其导数的正负。如果一个函数在某个区间上的导数始终大于0，则该函数在这个区间上是单调递增的；反之，如果导数始终小于0，则函数是单调递减的。
- 例如，题目中的函数$f(x) = x^2 - \ln x$，通过求导找到$f'(x)$，并解不等式$f'(x) < 0$来确定函数的单调递减区间。
2. **含参数的函数的单调性**：
- 当函数含有未知参数时，需要根据参数的值来讨论函数的单调性。通常这涉及到分类讨论，比如根据参数的正负或者参数与特定值的关系来确定单调区间。
- 比如函数$f(x) = ax - \ln x + b$，讨论$a$的值对函数单调性的影响，可能需要解方程$f'(x) = 0$来找到临界点，并在不同区间分析导数的符号。
3. **确定函数单调区间的步骤**：
- 第一步是确定函数的定义域，这是讨论单调性的基础。
- 第二步是求函数的导数$f'(x)$。
- 第三步解不等式$f'(x) > 0$或$f'(x) < 0$，找出使得导数非负或非正的区间。
- 第四步，根据解集确定函数的单调递增和递减区间。
4. **解题技巧**：
- 排除法：对于选择题，可以通过排除不符合条件的选项来确定正确答案。
- 分类讨论：当函数中含有参数时，通常需要根据参数的取值范围划分不同的讨论情况。
5. **典例分析**：
- 在给定的典例中，函数$f(x) = ax - \ln x + (a \in \mathbb{R})$的单调性讨论，关键在于分析导数$f'(x) = a - \frac{1}{x}$，并根据$a$的值将问题分为$a \leq 0$和$a > 0$两种情况讨论。
6. **应用举例**：
- 如函数$f(x) = (x - 3)e^x + a(x - 2)^2$，通过求导得到$f'(x) = (x - 2)(e^x + 2a)$，根据$a$的值分类讨论，可以得出函数的单调区间。
利用导数研究函数的单调性是高中数学中的一项重要技能，它能帮助我们理解函数的性质，预测函数图形的变化趋势，同时在实际问题中也有广泛应用，如优化问题、曲线的凹凸性分析等。掌握这个知识点对于解决复杂的数学问题至关重要。
