根据提供的文件信息，本章将围绕“向量代数与空间解析几何”展开讨论，并结合考试内容与要求、考试内容解析以及典型例题来进行详细的知识点讲解。
### 一、考试内容与要求
#### 1. 向量的概念
- **定义**：向量是一种既有大小又有方向的量。它可以用一个有向线段来表示，线段的长度代表向量的大小，箭头的方向代表向量的方向。
- **表示方法**：向量通常用大写字母加箭头表示，如 \(\vec{A}\) 或小写字母加箭头表示，如 \(\vec{a}\)。
- **向量的运算**：包括向量的加减法、数乘运算以及内积、外积等。
#### 2. 向量的坐标表示
- **直角坐标系下的向量表示**：在三维直角坐标系中，任意向量可以表示为 \( \vec{a} = x\vec{i} + y\vec{j} + z\vec{k} \)，其中 \(\vec{i}\)、\(\vec{j}\)、\(\vec{k}\) 分别是沿着 \(x\) 轴、\(y\) 轴、\(z\) 轴的单位向量。
- **向量的模**：向量 \(\vec{a} = (x, y, z)\) 的模（即长度）定义为 \(|\vec{a}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}\)。
- **向量的方向余弦**：设向量 \(\vec{a}\) 在 \(x\)、\(y\)、\(z\) 轴上的投影分别为 \(l\)、\(m\)、\(n\)，则 \(l = \frac{x}{|\vec{a}|}\)、\(m = \frac{y}{|\vec{a}|}\)、\(n = \frac{z}{|\vec{a}|}\) 称为方向余弦，满足 \(l^2 + m^2 + n^2 = 1\)。
#### 3. 向量的线性组合与线性相关
- **线性组合**：给定向量 \(\vec{a}_1, \vec{a}_2, ..., \vec{a}_n\) 和标量 \(k_1, k_2, ..., k_n\)，向量 \(k_1\vec{a}_1 + k_2\vec{a}_2 + ... + k_n\vec{a}_n\) 称为这些向量的一个线性组合。
- **线性相关**：若存在一组不全为零的数 \(k_1, k_2, ..., k_n\) 使得 \(k_1\vec{a}_1 + k_2\vec{a}_2 + ... + k_n\vec{a}_n = 0\)，则称这些向量线性相关；否则称为线性无关。
- **线性无关的重要性**：在解决实际问题时，选择一组线性无关的向量作为基底能够简化计算过程。
#### 4. 空间解析几何
- **平面方程**：一般形式为 \(Ax + By + Cz + D = 0\)，其中 \(A\)、\(B\)、\(C\) 不同时为零。
- **直线方程**：可以表示为参数方程或对称方程。参数方程为 \(\left\{\begin{matrix}x = x_0 + at \\y = y_0 + bt \\z = z_0 + ct\end{matrix}\right.\)，对称方程为 \(\frac{x - x_0}{a} = \frac{y - y_0}{b} = \frac{z - z_0}{c}\)。
- **点到直线/平面的距离**：对于点 \(P(x_0, y_0, z_0)\) 到直线或平面的距离可以通过相应的公式计算得出。
### 二、考试内容解析与典型例题
#### 例题1：向量的运算
**题目**：已知向量 \(\vec{a} = (1, 2, 3)\) 和 \(\vec{b} = (-2, 1, 2)\)，求 \(\vec{a} + \vec{b}\) 和 \(\vec{a} \cdot \vec{b}\)。
**解答**：
- 向量的加法：\(\vec{a} + \vec{b} = (1 - 2, 2 + 1, 3 + 2) = (-1, 3, 5)\)。
- 向量的点积：\(\vec{a} \cdot \vec{b} = 1 \times (-2) + 2 \times 1 + 3 \times 2 = -2 + 2 + 6 = 6\)。
#### 例题2：线性组合与线性相关
**题目**：判断向量 \(\vec{a} = (1, 2, 3)\)、\(\vec{b} = (2, 4, 6)\) 和 \(\vec{c} = (3, 4, 5)\) 是否线性相关。
**解答**：通过观察可知，\(\vec{b} = 2\vec{a}\)，即 \(\vec{b}\) 可以表示为 \(\vec{a}\) 的线性组合。因此，\(\vec{a}\) 和 \(\vec{b}\) 线性相关。接下来判断 \(\vec{c}\) 是否能用 \(\vec{a}\) 和 \(\vec{b}\) 的线性组合表示。设 \(\vec{c} = k_1\vec{a} + k_2\vec{b}\)，即 \((3, 4, 5) = k_1(1, 2, 3) + k_2(2, 4, 6)\)。解得 \(k_1 = 1\)，\(k_2 = 0\)，故三者线性相关。
以上是对“第七章 向量代数与空间解析几何”这一主题的知识点进行的详细介绍。希望这些内容能够帮助读者更好地理解和掌握该章节的核心概念与应用技巧。
