线性代数与空间解析几何是数学中的基础分支，它主要研究向量、矩阵、线性变换以及在多维空间中的几何性质。哈工大的PPT学习教案详细介绍了这一领域的一些核心概念，以下是对其中部分知识点的详细阐述：
1. **向量**：向量是有大小（模）和方向的量，通常用有向线段来表示。向量的长度代表模，简头表示方向。例如，记为**AB**或**a**。
2. **模**：向量的大小，记作**|a|**，且**|a| ≥ 0**。向量**a**的模等于起点到终点的距离。
3. **单位向量**：模为1的向量，表示比例因子。不同方向上有不同的单位向量，例如**i, j, k**在三维空间中分别代表沿x, y, z轴的方向单位向量。
4. **0向量**：模为0的向量，没有确定的方向，可视为任何方向。
5. **负向量**：大小与原向量相等，但方向相反。
6. **自由向量**：与起点无关，可以平移。研究中的向量通常被视为自由向量，因此任意两个向量都共面。
**向量的线性运算**包括加法和数乘向量：
7. **加法运算**：
- 平行四边形法则：向量**a**和**b**的和**a + b**，可以通过将它们的始点放在同一位置，然后连接对应终点形成平行四边形的对角线来得到。
- 三角形法则：将向量**b**的起点与**a**的终点重合，形成的向量**a + b**是这两个向量的和。
- 运算法则：加法具有交换律（**a + b = b + a**）、结合律（**a + (b + c) = (a + b) + c**）、零向量的加法（**0 + a = a + 0 = a**）以及减法（**a - b = a + (-b)**）。
8. **数乘向量**：
- 定义：实数**k**与向量**a**的乘积**ka**是一个模为**|k||a|**的向量，方向与**a**同向（当**k > 0**）或反向（当**k < 0**）。
- 运算法则：数乘具有分配律（**k(a + b) = ka + kb**）、数乘零向量（**0a = 0**）、数乘单位向量（**ka = a**，如果**k ≠ 0**）。
这些基本概念构成了线性代数的基础，它们在解决多元方程组、研究几何形状、处理物理问题以及在计算机图形学等领域都有着广泛的应用。通过深入理解和掌握这些概念，能够更好地理解和运用线性代数。
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