V=顶点 F=面 E=棱
证明思路一: 逐步减少多面体的棱数, 分析 V+F-E.
先以简单的四面体 ABCD 为例加以说明.
1、去掉一个面, 再将它压缩为平面图形.四面体顶点数 V、棱数 E 与剩下的面数 F1
变形后都没有变.因此, 要研究 V、E 和 F 关系, 只需去掉一个面变为平面图形, 证 V
+F1-E=1.
2、将所得的平面图形外围的线段逐一去掉.每去掉一条线段, 就减少一个面, V+F1
-E 不变.依次去掉所有的外围线段, 变为“树枝形”.
3、从剩下的树枝形中, 逐一去掉线段, 直至只剩一条线段.每去掉一条线段, 就减少
一个顶点, V+F1-E 不变, 最后只剩下一条线段, 此时 V+F1-E=2+0-1=1.
4、以上过程 V+F1-E 不变, V+F1-E=1.所以加上去掉的一个面, V+F-E=
2.
对任意的简单多面体, 运用这样的方法, 都是只剩下一条线段.因此公式对任意简单多
面体都是正确的.
证明思路二: 计算多面体各面内角和.
设多面体顶点数 V, 面数 F, 棱数 E.剪掉一个面, 使它变为平面图形(拉开图), 求所有
面内角总和∑α.
一方面, 在原图中利用各面求内角总和.
设有 F 个面, 各面的边数为 n1, n2, …, nF, 各面内角总和为:
∑α =[(n1-2)·180°+(n2-2)·180°+…+(nF-2)·180°]
=(n1+n2+…+nF-2F)·180°
=(2E-2F)·180°
=(E-F)·360°(1)
另一方面, 在拉开图中利用顶点求内角总和.