其中 ,
(1) 与 是一一对应关系, 且 .
(2) 称 为 的矩阵, 称 为 对应的二次型.
(3) 称 的秩为 的秩, 即 .
2.标准形:找可逆线性变换 , 即
使得
将二次型 的标准形写为矩阵形式
,
矩阵描述:对实对称矩阵 , 找可逆矩阵 , 使得 .
3.合同矩阵:对于 , 若有可逆矩阵 使得 ,
称 合同于 .
(1) 合同于 :
(2) 合同于 合同于 :
(3) 合同于 , 合同于 合同于
定理 3 合同于 .
证
故 .
§6.2 化二次型为标准形
1.正交变换法
设 实对称, 特征值为 , 则存在正交矩阵 , 使得