曲线曲面基本理论-B样条，NURBS，Bezier_nurbs曲线和贝塞尔曲线资源-CSDN文库

样条插值，Bezier插值

4星 · 超过85%的资源需积分: 50 72 浏览量 2010-06-17 16:45:42 上传评论 3 收藏 3.33MB DOC 举报

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研发中心

第二讲曲线曲面基本理论

一、概述

曲面造型是计算机辅助几何设计 

和计算机图形学的一项重要内容，主要研究在计算机图象系统的环境下对曲面的表示、设计、显示和

分析。它起源于汽车、飞机、船舶、叶轮等的外形放样工艺，由 、!" 等大师于二十世纪六

十年代奠定其理论基础。经过三十多年的发展，曲面造型现在已形成了以有理 ! 样条曲面#!$

参数化特征设计和隐式代数曲面%&表示这两类方法为主体，

以插值%、逼近这二种手段为骨架的几何理论体系。

1．发展历程

形状信息的核心问题是计算机表示，既要适合计算机处理，且有效地满足形状表示与设计要求，

又便于信息传递和数据交换的数学方法。象飞机、汽车、轮船等具有复杂外形产品的表面是工程中必

须解决的问题。曲面造型的目的就在如此。

 

'()* 年美国波音（!）飞机公司的佛格森（+）最早引入参数三次曲线（三次

, 插值曲线），将曲线曲面表示成参数矢量函数形式，构造了组合曲线和由四角点的位置矢量、

两个方向的切矢定义的佛格森双三次曲面片，从此曲线曲面的参数化形式成为形状数学描述的标准形

式。

仅用端点的位置和切矢控制曲线形状是不够的，中间的形状不易控制，且切矢控制形状不直接。

'()- 年，美国麻省理工学院（%.）的孔斯（）用四条边界曲线围成的封闭曲线来定义一

张曲面，+ 曲线曲面只是  曲线曲面的特例。而孔斯曲面的特点是插值，即构造出来的

曲面满足给定的边界条件，例如经过给定边界，具有给定跨界导矢等等。但这种方法存在形状控制与

连接问题。

 

'()- 年，舍恩伯格（&）提出了参数样条曲线、曲面的形式。

'(/' 年，法国雷诺（#）汽车公司的贝塞尔（!"）发表了一种用控制多边形定义曲线

和曲面的方法。这种方法不仅简单易用，而且漂亮地解决了整体形状控制问题，把曲线曲面的设计向

前推进了一大步，为曲面造型的进一步发展奠定了坚实的基础。



但当构造复杂曲面时，!" 方法仍存在连接问题和局部修改问题。

同期，法国雪铁龙（）汽车公司的德卡斯特里奥（0）也独立地研究出与

!" 类似的方法。

'(/1 年，德布尔（!）给出了 ! 样条的标准计算方法。

'(/- 年，美国通用汽车公司的戈登（）和里森费尔德（#）将 ! 样条理论用于

形状描述，提出了 ! 样条曲线和曲面。这种方法继承了 !" 方法的一切优点，克服了 !" 方法存

在的缺点，较成功地解决了局部控制问题，又轻而易举地在参数连续性基础上解决了连接问题，从而

使自由型曲线曲面形状的描述问题得到较好解决。但随着生产的发展，! 样条方法显示出明显不足，

不能精确表示圆锥截线及初等解析曲面，这就造成了产品几何定义的不唯一，使曲线曲面没有统一的

数学描述形式，容易造成生产管理混乱。

'(/2 年，美国锡拉丘兹（3）大学的佛斯普里尔（4）提出了有理 ! 样条方法。

56 年代后期皮格尔（7）和蒂勒（.）将有理 ! 样条发展成非均匀有理 ! 样条方法（即

89#!），并已成为当前自由曲线和曲面描述的最广为流行的技术。

89#! 方法的突出优点是：可以精确地表示二次规则曲线曲面，从而能用统一的数学形式表示

规则曲面与自由曲面，而其它非有理方法无法做到这一点；具有可影响曲线曲面形状的权因子，使形

状更宜于控制和实现；89#! 方法是非有理 ! 样条方法在四维空间的直接推广，多数非有理 ! 样条

曲线曲面的性质及其相应算法也适用于 89#! 曲线曲面，便于继承和发展。

由于 89#! 方法的这些突出优点，国际标准化组织%:于 '((' 年颁布了关于工业产品数据交

换的 .;7 国际标准，将 89#! 方法作为定义工业产品几何形状的唯一数学描述方法，从而使

89#! 方法成为曲面造型技术发展趋势中最重要的基础。

2．基本概念

曲线、曲面的显式、隐式、参数表示

曲线、曲面可以用显式、隐式和参数表示。

显式：形如 "＝（，3）的表达式。对于一个平面曲线，显式表示一般形式是：3<（）。在此

方程中，一个  值与一个 3 值对应，所以显式方程不能表示封闭或多值曲线，例如，不能用显式方程

表示一个圆。

隐式：形如 （，3，"）＝6 的表达式。如一个平面曲线方程，表示成 （，3）<6 的隐式表示。

隐式表示的优点是易于判断函数 （，3）是否大于、小于或等于零，也就易于判断点是落在所表示曲

线上或在曲线的哪一侧。

参数表示：形如 ＝（），3＝（），"＝（）的表达式，其中  为参数。即曲线上任一点

的坐标均表示成给定参数的函数。

如平面曲线上任一点 7 可表示为：7<= 3>；

空间曲线上任一三维点 7 可表示为：7<= 3 ">；如图：



最简单的参数曲线是直线段，端点为 7'、71 的直线段参数方程可表示为：

7<7'?71$7' =6 '>@∈

圆在计算机图形学中应用十分广泛，其在第一象限内的单位圆弧的非参数显式表示为：

其参数形式可表示为：

参数表示的曲线、曲面具有几何不变性等优点，计算机图形学中通常用参数形式描述曲线、曲面。

其优势主要表现在：

（'）可以满足几何不变性的要求，坐标变换后仍保持几何形状不变

（1）有更大的自由度来控制曲线、曲面的形状。如一条二维三次曲线的显式表示为：

只有四个系数控制曲线的形状。而二维三次曲线的参数表达式为：

有 5 个系数可用来控制此曲线的形状。

（*）对非参数方程表示的曲线、曲面进行变换，必须对其每个型值点进行几何变换，不能对其

方程变换（因不满足几何变换不变性）；而对参数表示的曲线、曲面可对其参数方程直接进行几何变

换。

（-）便于处理斜率为无穷大的情形，不会因此而中断计算。

（2）参数方程中，代数、几何相关和无关的变量是完全分离的，而且对变量个数不限，从而便

于用户把低维空间中曲线、曲面扩展到高维空间去。这种变量分离的特点使我们可以用数学公式处理

几何分量。

（)）规格化的参数变量  =6 '>∈ ，使其相应的几何分量是有界的，而不必用另外的参数去定义边

界。

（/）易于用矢量和矩阵表示几何分量，简化了计算。

位置矢量、切矢量、法矢量、曲率和挠率

（见高等数学）

插值、逼近、拟合

插值：

给定一组有序的数据点 7，<6 ' A ，构造一条曲线顺序通过这些数据点，称为对这些

数据点进行插值，所构造的曲线称为插值曲线。常用插值方法有线性插值、抛物线插值等。

逼近：

构造一条曲线使之在某种意义下最接近给定的数据点，称为对这些数据点进行逼近，所构

造的曲线为逼近曲线。

拟合：

插值和逼近则统称为拟合（）。

光顺、连续性

光顺：

通俗含义指曲线的拐点不能太多，曲线拐来拐去，就会不顺眼，对平面曲线而言，相对光

顺的条件是：）具有二阶几何连续性1；&）不存在多余拐点和奇异点；）曲率变化较小。

连续性：

设计一条复杂曲线时，常常通过多段曲线组合而成，这需要解决曲线段之间如何实现光

滑连接的问题，即为连续性问题。

曲线间连接的光滑度的度量有两种：一种是函数的可微性，把组合参数曲线构造成在连接处具有

直到  阶连续导矢，即  阶连续可微，这类光滑度称之为 



或  阶参数连续性。另一种称为几何连续

性，组合曲线在连接处满足不同于 



的某一组约束条件，称为具有  阶几何连续性，简记为 



。曲

线光滑度的两种度量方法并不矛盾，



连续包含在 



连续之中。

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内容反馈

zst1978

2014-05-19

说的太简单，随便找本书比它说的多。
zhangzgui888

2014-07-22

说得太简单，没意思。
hubobo5241

2014-07-09

还行吧，可以参考
cranelv98

2014-01-03

很不错的资源，讲的很详细，谢谢了
sunly029

2013-08-06

讲的很好，正在看。价值高，谢谢楼主。

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chrisgao123

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