第一篇 集合论
集合论是德国数学家康托（Contor）在 1874 年建立的，它是现代数学的基础，当今数学中的每个
对象本质上都是集合。有时我们说：“数学能嵌套在集合论中”其含义就是指数学的一些对象如数、函数、
线、面等都可以用集合来定义。换句话说，数学的各个分支在本质上都是研究这种或那种对象的集合。
例如：
几何学是研究点、线、面的集合；
数学分析是研究函数的集合；
代数学是研究数的集合以及在此集合上有关运算的集合等。
因此，我们把集合论作为现代各种数学的基础是有道理的、合适的。
集合论也是计算机科学的重要工具。集合论在程序设计、数据结构、形式语言、操作系统等计算机
科学中，都有重要应用，成为计算机科学工作者必不可少的基础知识。计算机科学领域中的大多数基本
概念和理论，几乎均采用集合论的术语来描述和论证。
集合论主要有以下几个特点：
第一、 第一、 它所研究的对象十分广泛。例如数、图形或其它任何客体作为对象。
第二、 第二、 因为它研究的对象是如此广泛，为了便于研究，就必须寻找对象的共性。而要做到
这一点，就必须进行抽象。
第三、 第三、 在抽象化的基础上，可以用统一的方法来研究和处理集合论中的各种问题。
总之，集合论的主要特点是研究对象的广泛性，分析思考问题的抽象性和处理问题的统一性。正是
这些特点，使我们便于用它来描述和研究离散对象及其关系。
第一章 集合及其运算
基本要求
1. 1. 掌握集合、子集、全集、空集和幂集等概念。熟悉常用的表示集合的方法以及用文氏图来表示集
合的方法。能够判定元素与集合、集合与集合之间的关系；熟练掌握两个集合相等关系和包含关系的
定义和性质，能够利用定义证明两个集合相等。
2. 2. 熟练掌握集合之间的各种运算以及集合运算的基本等式，能够利用它们来证明更复杂的集合等式。
3. 3. 掌握余集与集合笛卡儿乘积的概念以及 De Morgan 公式。
4．掌握求解与有穷集合计数相关的实际问题。
1.1 必备知识和考试要点
1.1.1 基本定义
集合是一个不能精确定义的数学概念。一般地说，把一些确定的、可以区分的事物放在
一起组成的一个整体称为集合，简称集。组成一个集合的每个事物称为该集合的元素，或简
称一个元。
若 a 是集合 A 的一个元素，就称 a 属于 A，或称 a 在 A 中，记为 a
A。
若 a 不是集合 A 的一个元素，就称 a 不属于 A，或称 a 不在 A 中，记为 a
A。
集合的概念很简单，但准确理解其含义却非易事，特别应注意下列几点：
第一、 第一、 集合的元素可以是任何的事物，既可以是具体的事物，也可以是抽象的事物；
还可以是另外的集合，但构成这个集合的元素决不能是这个集合的自身。
第二、一个集合的每个元素是可以互相区分的。这意味着在集合中不会重复出现相同
的元素。
第三、组成一个集合的各个元素在该集合中是无次序的。
第四、任一事物是否属于一个集合，回答是确定的。也就是说，对一个集合来说，任一事物或者是
它的元素或者不是它的元素，二者必居其一且不可兼而有之，而且结论是确定的。
今后，我们常用不同的大写的字母表示不同的集合，而且不的小写字母表示集合中不同
的元素。但是因为某个集合的 可能是令一个集合，所以这种约定不是绝对的。
在本书规定用几种特定的字母表示几个常用的集合。约定：
N 表示全体自然数组成的集合；
I 表示全体整数组成的集合；
I
+
表示全体正整数组成的集合；
