图论讲义 图 路 树

### 图论讲义知识点概述 #### 一、图论与网络流理论简介 图论是离散数学的一个分支，主要研究图（由顶点和边组成的结构）的性质及其应用。网络流理论则是研究在网络中如何高效分配资源的一门学问。二者在信息技术、计算机科学、运筹学等领域有着广泛的应用。 #### 二、图的基本概念 **1. 图的定义** - **图**（Graph）是一组顶点和它们之间连接关系的集合，通常表示为 \(G=(V,E)\)，其中 \(V\) 是顶点集合，\(E\) 是边集合。 - **顶点**（Vertex）：图中的一个基本元素，可以代表实体或对象。 - **边**（Edge）：表示两个顶点之间的连接，边可以是有向的也可以是无向的。 **2. 图的图示** - 图可以通过顶点和平面上的连线来表示，这种表示方式有助于直观理解图的结构。 - 同一个图可以有不同的图示，但它们本质上代表相同的图结构。 **3. 图的相关概念** - **关联**（Incidence）：边与顶点的关系，如果一条边连接了两个顶点，则称这条边与这两个顶点关联。 - **相邻**（Adjacency）：对于两个顶点，如果它们之间有一条边连接，则称这两个顶点是相邻的。 - **环边**（Loop Edge）：一条边的两端都是同一个顶点的边。 - **重边**（Multiple Edges）：连接同一对顶点的多条边。 - **简单图**（Simple Graph）：没有环边也没有重边的图。 - **完全图**（Complete Graph）：每一对不同的顶点之间都有一条边相连的图。 - **图的阶**（Order of a Graph）：图中顶点的数量。 - **图的度**（Degree of a Vertex）：一个顶点关联的边的数量，对于环边，每条边计算两次。 - **图的最大度**（Maximum Degree）：图中所有顶点度的最大值。 - **图的最小度**（Minimum Degree）：图中所有顶点度的最小值。 - **正则图**（Regular Graph）：所有顶点度数相同的图。 - **补图**（Complement of a Graph）：一个图的所有可能的边减去原图的边构成的新图。 #### 三、路、圈与连通图 **1. 路**（Path）：图中从一个顶点到另一个顶点的顶点序列，其中任意两个连续的顶点之间有一条边相连。 **2. 圈**（Cycle）：起点和终点相同的路径。 **3. 连通图**（Connected Graph）：图中任意两个顶点间都存在路径的图。 **4. 最短路径问题**（Shortest Path Problem）：寻找图中两点间的最短路径的问题，在实际应用中有广泛的用途。 #### 四、树及其基本性质 **1. 树**（Tree）：一个连通且不含圈的无向图。 **2. 生成树**（Spanning Tree）：包含图中所有顶点的树。 **3. 最小生成树**（Minimum Spanning Tree）：具有最小权重总和的生成树，在网络设计中非常重要。 #### 五、图的连通性 **1. 割点**（Cut Vertex）：删除后使得图不再连通的顶点。 **2. 割边**（Cut Edge）：删除后使得图不再连通的边。 **3. 块**（Block）：图中的极大连通子图，不含割点。 **4. 连通度**（Connectivity）：图中最少需要删除多少个顶点才能使图不连通。 #### 六、匹配问题 **1. 匹配**（Matching）：图中互不相邻的边的集合。 **2. 最大匹配**（Maximal Matching）：匹配中包含的边的数量不能再增加的匹配。 **3. 完美匹配**（Perfect Matching）：每个顶点都在匹配的边中出现一次的匹配。 **4. 二部图的最大匹配**（Maximum Matching in Bipartite Graphs）：在二部图中找到最大的匹配。 #### 七、欧拉图与哈密尔顿图 **1. 欧拉图**（Eulerian Graph）：含有欧拉回路的图，即从任意一点出发能够经过每条边恰好一次回到起点的图。 **2. 哈密尔顿图**（Hamiltonian Graph）：含有哈密尔顿回路的图，即从任意一点出发能够经过每个顶点恰好一次回到起点的图。 #### 八、支配集、独立集、覆盖集与团 **1. 支配集**（Dominating Set）：图中的一组顶点，使得图中的每一个顶点要么属于这个集合，要么与这个集合中的某个顶点相邻。 **2. 独立集**（Independent Set）：图中互不相邻的顶点集合。 **3. 覆盖集**（Covering Set）：图中的一组顶点，使得图中的每条边至少有一个端点在这个集合中。 **4. 团**（Clique）：图中完全连接的顶点集合。 #### 九、图的着色问题 **1. 点着色**（Vertex Coloring）：将图中的顶点用不同颜色着色，使得相邻的顶点颜色不同。 **2. 边着色**（Edge Coloring）：将图中的边用不同颜色着色，使得相邻的边颜色不同。 **3. 平面图**（Planar Graph）：能够在平面上绘制而不会有任何两条边交叉的图。 **4. 四色猜想**（Four Color Theorem）：任何平面图最多只需要四种颜色就能实现点着色。 **5. 色多项式**（Chromatic Polynomial）：描述图的着色方案数量的多项式函数。 **6. 色数的应用**（Applications of Chromatic Number）：色数在优化问题、调度问题等方面的应用。 #### 十、网络流理论 **1. 有向图**（Directed Graph）：图中的边是有方向的。 **2. 网络与网络流的基本概念**（Basic Concepts of Network and Network Flow）：网络是由顶点和边组成的图，其中边可以表示数据、物品等的流动路径。 **3. 最大流最小割定理**（Max-flow Min-cut Theorem）：在网络流理论中，最大流等于最小割的容量。 **4. 求最大流的标号算法**（Labeling Algorithm for Maximum Flow）：一种用于计算网络中最大流的算法。 **5. 最小费用流问题**（Minimum Cost Flow Problem）：在网络中寻找最小费用的最大流。 **6. 最小费用最大流**（Minimum Cost Maximum Flow）：在满足最大流量的同时最小化总成本。 **7. 网络流理论的应用**（Applications of Network Flow Theory）：在网络设计、物流优化、资源分配等问题中的应用。 通过这些基础知识的学习，学生可以深入了解图论与网络流理论的基本概念、方法和定理，并掌握解决实际问题的能力。