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http://blog.csdn.net/hopposite 博客中连载的计算机图形学笔记系列, Foundations Of 3DComputer Graphics 翻译的第三章。 本章内容主要是一些概念的理解~ 1. 将坐标系从原先的三维拓展到了四维,从线性变换拓展到了仿射变换,简单理解就是从旋转/缩放变换增加了位移变换的功能。 2. 注意一下 *刚体变换* 这个概念,指的是只有 [旋转+位移] 的变换, 因为在这两种变换中,对象点与点之间的点乘关系不变,也就是说保持了刚体状态。 3. 最后讨论了仿射变换中,如何计算法线向量的问题
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3 Affine 仿射
3.1 Points and Frames
点与坐标系
[点与向量]
将点与向量作为两种不同的类型来思考很有帮助。点是在几何体世界中的某个固定
的位置,而向量则描述两点间的运动。我们会使用两种不同符号来区分点和向量。
向量 v 顶部有一个箭头,而点 ˜p 顶部则有波浪线。
如果我们将向量看作两点间的运动,那么向量运算 (加以及与标量的乘法) 就有
了明显的意义。如果我们将两向量相加,我们表示的是两个运动的连接。如果我们
将向量与标量相乘,我们是将该运动以一定系数增大或减小。零向量是一个特殊的
表示没有运动的向量。
这些运算对点来说并没有太多意义。将两个点相加应该得到什么结果 (例如,将
哈佛广场与肯德尔广场相加)?将点与标量乘应该意味着什么?用法 7 乘以南极点应
该意味着什么?存在着一个与其他点不同的零点吗?
有一种两点间的运算确实具有某些层面的意义:减法。当我们将一个点与另一
个点相减时,我们应该得到从第二个点到第一个点的向量。
˜p − ˜q = v
相反,如果我们从一个点开始,沿着某一向量运动,我们应该得到另一个点
˜p + v = ˜p
[仿射变换]
对点进行线性变换是有意义的。例如我们可以将一点绕着某一固定原点旋转。
对于点,位移也是有意义的操作 (位移的概念对向量没有意义)。为了表示位移,我
22
第三章 AFFINE 仿射 23
们需要使用仿射变换 (affine transform)这一概念。为了实现它,我们需要 4x4 的矩
阵。4x4 矩阵不仅仅有助于在这里处理仿射变换,随后我们描述摄影机投影运算时也
很有用 (见第 10 章)。
3.1.1 Frames 坐标系
[在仿射空间中用 [原点 + 向量] 来描述点]
在仿射空间中,我们这样描述一个点,从某一原点 ˜o 开始,再将它与向量的线性组
合相加。该向量由一组向量基和坐标系向量 c
i
表示
˜p = ˜o +
∑
i
c
i
b
i
=
[
b
1
b
2
b
3
˜o
]
c
1
c
2
c
3
1
=
f
t
c.
其中 1˜o 定义为 ˜o。
横向的行
[
b
1
b
2
b
3
˜o
]
=
f
t
称为一个仿射坐标系 (affine frame);它与向量基相似,但由三个向量和一个点组成。
[仿射坐标系的第四个分量:1 表示点, 0 表示向量]
用坐标系来指定一个点,我们使用一组 4 项的坐标系向量,其中最后一项总是
为 1。用坐标系来表示一个向量时,我们使用最后一项为 0 的坐标系向量 (也就是
说,它是向量基的组合)。使用 4 项的坐标系向量来表示几何体 (以及 4x4 矩阵) 也
会在第 10 章我们研究针孔相机模型的时候派上用场。
3.2 Affine Transformations and 4 by 4 Matrices
仿射变换与 4 乘 4 矩阵
与线性变换的情况相同,我们会在坐标系向量与坐标系之间放置一个合适的矩阵,
以此来定义作用于点的仿射变换的概念。
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_Hine
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