sor法解线性方程组 matlab程序

### SOR方法解析及其在MATLAB中的实现 #### 背景介绍 SOR（Successive Over-Relaxation，成功超松弛法）是一种用于求解线性方程组的迭代方法，尤其适用于大规模稀疏矩阵问题。该方法是高斯-赛德尔方法的一种加速版本，通过引入一个额外的参数——松弛因子ω来加快收敛速度。SOR方法广泛应用于数值分析、科学计算等领域。 #### SOR方法原理 考虑形如\(Ax = b\)的标准线性方程组，其中\(A\)是\(n \times n\)阶方阵，\(b\)是\(n\)维列向量。假设\(A\)可以分解为\(A = D - L - U\)的形式，其中\(D\)是对角部分，\(-L\)是下三角部分（不包括对角线），\(-U\)是上三角部分（不包括对角线）。 在SOR方法中，迭代公式定义为： \[ x^{(k+1)} = (D-\omega L)^{-1} [(\omega U + (1-\omega)D)x^{(k)} + \omega b] \] 其中，\(x^{(k)}\)表示第\(k\)次迭代的结果，\(\omega\)是松弛因子，其取值范围通常为\(1 < \omega < 2\)，以加速收敛过程。 #### MATLAB程序实现详解 给定的MATLAB函数`[n,x]=sor22(A,b,X,nm,w,ww)`用于实现SOR方法求解线性方程组\(Ax = b\)。接下来，我们将逐步解释此函数中的关键步骤： 1. **输入参数**： - `A`：方程组的系数矩阵。 - `b`：方程组右侧的列向量。 - `X`：迭代的初始值构成的列向量。 - `nm`：最大迭代次数。 - `w`：误差精度，即迭代终止条件。 - `ww`：松弛因子，即\(\omega\)。 2. **变量初始化**： - `n`：迭代计数器，初始化为1。 - `m`：矩阵\(A\)的维度。 - 计算\(A = D - L - U\)中的\(D\)、\(L\)和\(U\)。 - `D = diag(diag(A))`：提取矩阵\(A\)的对角元素并形成对角矩阵。 - `L = tril(-A) + D`：形成下三角矩阵，不包含对角线元素。 - `U = triu(-A) + D`：形成上三角矩阵，不包含对角线元素。 3. **迭代矩阵与常数项计算**： - `M = inv(D-ww*L)*((1-ww)*D+ww*U)`：计算迭代矩阵\(M\)。 - `g = ww*inv(D-ww*L)*b`：计算迭代过程中的常数项\(g\)。 4. **迭代过程**： - 使用循环结构执行迭代，直到满足最大迭代次数或达到精度要求。 - `while n <= nm`：检查是否达到最大迭代次数。 - `x = M*X + g`：根据迭代公式更新\(x\)。 - 检查误差是否小于设定的精度\(w\)。 - 若满足条件，则输出迭代次数和解，并结束循环。 - 否则，更新\(X = x\)，增加迭代计数器\(n = n + 1\)。 5. **输出结果**： - `n`：迭代次数。 - `x`：最终得到的方程组解。 #### 总结 SOR方法是一种高效的迭代算法，通过合理选择松弛因子\(\omega\)可以显著提高求解线性方程组的效率。MATLAB提供的强大矩阵运算能力使得SOR方法的实现变得简单高效。对于实际应用中遇到的大规模线性系统，利用MATLAB实现的SOR方法能够快速找到近似解，具有重要的理论意义和实用价值。