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绪言
任何新生事物的产生和发展,都要经过一个由弱到强,逐步成长壮大的过程,
一种新理论、一种新学科的问世,往往一开始会受到许多人的怀疑甚至否定。模
糊数学自 1965 年 L.A.Zadeh 教授开创以来所走过的道路,充分证实了这一点,
然而,实践是检验真理的标准,模糊数学在理论和实际应用两方面同时取得的巨
大成果,不仅消除了人们的疑虑,而且使模糊数学在科学领域中,占有了自己的
一席之地。
经典数学是适应力学、天文、物理、化学这类学科的需要而发展起来的,不
可能不带有这些学科固有的局限性。这些学科考察的对象,都是无生命的机械系
统,大都是界限分明的清晰事物,允许人们作出非此即彼的判断,进行精确的测
量,因而适于用精确方法描述和处理。而那些难以用经典数学实现定量化的学科,
特别是有关生命现象、社会现象的学科,研究的对象大多是没有明确界限的模糊
事物,不允许作出非此即彼的断言,不能进行精确的测量。清晰事物的有关参量
可以精确测定,能够建立起精确的数学模型。模糊事物无法获得必要的精确数据,
不能按精确方法建立数学模型。实践证明,对于不同质的矛盾,只有用不同质的
方法才能解决。传统方法用于力学系统高度有效,但用于对人类行为起重要作用
的系统,就显得太精确了,以致于很难达到甚至无法达到。
精确方法的逻辑基础是传统的二值逻辑,即要求符合非此即彼的排中律,这
对于处理清晰事物是适用的。但用于处理模糊性事物时,就会产生逻辑悖论。如
判断企业经济效益的好坏时,用“年利税在 100 万元以上者为经济效益好的企业”
表达,否则,便是经济效益不好的企业。根据常识,显而易见:“比经济效益好
的企业年利税少 1 元的企业,仍是经济效益好的企业”,而不应被划为经济效益
不好的企业。这样,从上面的两个结论出发,反复运用经典的二值逻辑,我们最
后就会得到,“年利税为 0 者仍为经济效益好的企业”的悖论。类似的悖论有许
多,历史上最著名的有“罗素悖论”。它们都是在用二值逻辑来处理模糊性事物
时产生的。
客观实际中存在众多的模糊性事物和现象,促使人们寻求建立一种适于描述
模糊事物和现象的逻辑模式。模糊集合理论便是在这种形势下应运而生的。模糊
方法的逻辑基础是连续值逻辑,它是建立在[0,1]上的。如若我们把年利税在
100 万元以上者的属于“经济效益好”的企业的隶属度规定为 1,那末,相比之
下,年利税少 1 元的企业,属于“经济效益好”的企业的隶属度就应相应减少一
点,比如为 0.99999,依此类推,企业的年利税每减少 1 元,它属于“经济效益
好”的企业的隶属度就要相应减少一点。这样下去,当企业的年利税为 0 时,它
属于“经济效益好”的企业的隶属度也就为 0 了,显然,模糊方法的这种处理方
式,是符合于人们的认识过程的,连续值逻辑是二值逻辑的合理推广。
现代科学发展的总趋势是,从以分析为主对确定性现象的研究,进到以综合
为主对不确定性现象的研究。各门科学在充分研究本领域中那些非此即彼的典型
现象之后,正在扩大视域,转而研究那些亦此亦彼的非典型现象。自然科学不同
学科之间,社会科学不同学科之间,自然科学和社会科学之间,相互渗透的趋势
日益加强,原来截然分明的学科界限一个个被打破,边缘科学大量涌现出来。随
着科学技术的综合化、整体化,边界不分明的对象,亦即模糊性对象,以多种多
样的形式普遍地、经常地出现在科学的前沿。
模糊集合理论自诞生以来,获得了长足的发展,每年全世界发表的研究论文
的数量,以指数级速度增长。研究范围从开始时的模糊集合,发展为模糊数、模
糊代数、模糊测度、模糊积分、模糊规划、模糊图论、模糊拓扑……等众多的分
枝。
和模糊集合理论的发展速度相比,模糊技术的应用虽稍迟一步,但也取得了
令人可喜的进展。自 1980 年第一例应用模糊技术的产品问世以来,有关这方面
的研究报告已逾 7000 多篇,制造出近千种模糊产品,如计算机、电饭煲、摄像
机、微波炉、洗衣机、空调器等。如日本松下公司研制的智能化家用空调器,可
根据内置的传感器提供的室内空气温度数据,在室温高或低于 25℃时,会自动
地“稍稍”调节空调器的阀门,进行 4608 种不同状态设定选择,从而获得最佳
开启状态和尽可能少的消耗。而这种“稍稍”的程度,只有通过有经验的人的感
觉来决定。
模糊技术方法不是对精确的摒弃,而是对精确更圆满的刻画。它通过模糊控
制规划,利用人类常识和智慧,理解词语的模糊内涵和外延,将各方面专家的思
维互相补充。虽然,目前要使模糊技术接近于人的思维,尚难以做到,但正如日
本夏普公司电子专家日吉考庄所说:一个普遍应用模糊技术的时代,不久就会到
来。
我国自 70 年代开始模糊数学研究以来,成就突出,已形成了 2000 至 3000
人的世界最庞大的研究队伍,并在高速模糊推理研究等领域,居世界领先地位。
但同时在其它方面,也存在着一些差距,尤其突出的是实验室里的成果,还有许
多未转化成经济效益。需要在政府和工业界的支持和参与下,成立专门的开发实
体,制定规划,并积极开展国际交流,为我国 21 世纪的技术发展和科学腾飞奠
定基础。
第二章 模式识别
§2-1 模式识别及识别的直接方法
在日常生活中生活中,经常需要进行各种判断、预测。如图象文字识
别、故障(疾病)的诊断、矿藏情况的判断等,其特点就是在已知各种标
准类型前提下,判断识别对象属于哪个类型的问题。这样的问题就是模式
识别。
一、模糊模式识别的一般步骤
模式识别的问题,在模糊数学形成之前就已经存在,传统的作法主要
用统计方法或语言的方法进行识别。但在多数情况下,标准类型常可用模
糊集表示,用模糊数学的方法进行识别是更为合理可行的,以模糊数学为
基础的模式识别方法称为模糊模式识别。
模式识别主要包括三个步骤:
第一步:提取特征,首先需要从识别对象中提取与识别有关的特征,
并度量这些特征,设 分别为每个特征的度量值,于是每个识别对
象
n
xx ,,
1
Λ
x
就对应一个向量 ,这一步是识别的关键,特征提取不合理,
会影响识别效果。
)
n
x,,,(
21
xx Λ
第二步:建立标准类型的隶属函数,标准类型通常是论域
的模糊集, 是识别对象的第 个特征。
{
),(
1 n
xxU Λ=
}
i
x
i
第三步:建立识别判决准则,确定某些归属原则,以判定识别对象属
于哪一个标准类型。常用的判决准则有最大隶属度原则(直接法)和择近
原则(间接法)两种。
二、最大的隶属度原则
若标准类型是一些表示模糊概念的模糊集,待识别对象是论域中的某
一元素(个体)时,往往由于识别对象不绝对地属于某类标准类型,因而
隶属度不为 1,这类问题人们常常是采用称为“最大隶属度原则”的方法
加以识别,这种方法(以及下面的“阈值原则”)是处理个体识别问题的,
称为直接法。
最大隶属度原则:设
)(,
21
UFAAA
n
∈
Λ
是 个标准类型, ,若 n Ux ∈
0
{
}
nkxAxA
ki
≤≤− 1 )( max)(
00
则认为 相对隶属于 所代表的类型。
0
x
i
A
例 1 通货膨胀识别问题
通货膨胀状态可分成五个类型:通货稳定; 轻度通货膨胀;中度通货膨
胀 ;重度通货膨胀; 恶性通货膨胀. 以上五个类型依次用
+
R
(非负实数域, 下
同 )上的模糊集 表示,其隶属函数分别为:
54321
,,,, AAAAA
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
≥
−
−
<≤
=
5 ],]
3
5
[exp[
50 ,1
)(
2
1
x
x
x
xA
))
5
10
(exp()(
2
2
−
−=
x
xA
))
7
20
(exp()(
2
3
−
−=
x
xA
))
9
30
(exp()(
2
4
−
−=
x
xA
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
≥
<≤
−
−
=
50 ,1
500 ),)
15
50
(exp[
)(
2
5
x
x
x
xA
其中对 ,表示物价上涨 。问
0≥x %x 40,8
=
x 时,分别相对隶属于哪种
类型?
解 ,
3679.0)8(
1
=A 8521.0)8(
2
=
A
0529.0)8(
3
=A , 0032.0)8(
4
=
A
0000.0)8(
5
=A
0000.0)40(
1
=A
,
0000.0)40(
2
=
A
0003.0)40(
3
=A , 1299.0)40(
4
=
A
6412.0)40(
5
=A
由最大隶属原则, 应相对隶属于 ,即当物价上涨 时,应视
为轻度通货膨胀; ,应相对隶属于 ,即当物价上涨 时,应视
为恶性通货膨胀。
8=x
40
2
A
5
A
%8
%40=x
三、阈值原则
在使用最大隶属度原则进行识别中,还会出现以下两种情况,其一是
有时待识别对象 关于模糊集
0
x
n
AAA
Λ
21
, 中每一个隶属程度都相对较低,
这时说明模糊集合 对元素
n
AAA Λ
21
,
x
不能识别;其二是有时待识别对象
x
关于模糊集 中若干个的隶属程度都相对较高,这时还可以缩小
n
AAA
1
, Λ
2
x
的识别范围,关于这两种情况有如下阈值原则。
阈值原则: 是 个标准类型,
)(,
21
UFAAA
n
∈Λ n ]1,0(,
0
∈
∈
dUx 为一阈
值(置信水平)令
{}
nk≤xA
k
= )(max
0
α
≤1
若
d<
α
则不能识别,应查找原因另作分析。
若 α≥d 且有 , … 则判决 相对地属
于
dxA
i
≥)(
0
1
dxA
i
≥)(
0
2
dxA
m
i
≥)(
0 0
x
m
iii
AAA ΛΙΙ
21
例 2 三角形识别问题
我们把三角形分成等腰三角形
I
,直角三角形
R
, 正三角形
E
,非典型
三角形
T
,这四个标准类型,取定论域
{}
CBACBACBAxxX ≥≥=++== ,180),,,(
这里 是三角形三个内角的度数,通过分析建立这四类三角形的
隶属函数为:
CBA ,,
)]()[(
60
1
1)( CBBAxI −∧−−=
(
2
1
)(=xA
n
90
90
1
1)( −−= AxR
)(
180
1
1)( CAxE −−=
]902,),(3),(3min[
180
1
)( −−−−= ACACBBAxT
现给定,
)45,50,85(),,(
0
=
=
CBAx , 对上述四个标准类型的隶属度
为:
0
x
06.0)(7.0)( 94.0)( 916.0)(
0000
=
=
== xTxExRxI
由于 关于
0
x
I
,
R
的隶属程度都相对高,故采用阈值原则,取 ,
因 , ,按阈值原则, 相对属于
8.0=d
8.0916)(
0
≥=xI .0 8.094.0)(
0
≥=xR
0
x
I
∩
R
,
即 可识别为等腰直角三角形。
0
x
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zyx902
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