函数的凸凹性是数学分析中的重要概念，它描述的是函数图形的弯曲方向和程度，这一概念在高中数学教学和高考数学题型中占有重要位置。理解函数的凸凹性，不仅有助于解决高考中的相关题目，而且对深入理解数学分析及高等数学的知识体系也具有重要意义。
我们介绍函数凸凹性的基本概念。如果一个函数在某个区间内所有的点上的切线都不高于函数图像，那么这个函数在该区间上是凸函数；相反，如果所有的切线都不低于函数图像，则称之为凹函数。数学上通常使用二阶导数来判断一个函数是否为凸函数或凹函数。如果一个函数的二阶导数在某个区间内始终大于或等于零，则该函数在该区间上是凸函数；如果二阶导数始终小于或等于零，则是凹函数。
函数的凸凹性有以下几点常用性质：
1. 加法性质：两个凸函数（或凹函数）之和仍是凸函数（或凹函数）。
2. 乘法性质：两个非负且递增的凸函数（或凹函数）相乘的结果仍然是凸函数（或凹函数）。
3. 分离性质：凸函数图像在区间上任意一点的切线不会高于函数图像。
4. 积分估计性质：哈达玛不等式提供了利用函数在区间上的积分来估计函数值的一种方法。
在高考数学中，函数的凸凹性及其性质常用于解决以下几类问题：
1. 分离性与恒成立问题：通过凸函数的定义和性质，可以判断某些表达式是否恒成立，进而求解一些参数的取值范围。
2. 切线放缩与零点估计：凸函数在区间内某点的切线的斜率和位置可以用来估计函数值的上下界，这是解决零点估计问题的关键。
3. 詹森不等式应用：詹森不等式是凸性在概率统计中的一种应用，它用于比较函数值与期望值的关系。
4. 极值点偏移：利用哈达玛不等式估计极值点的位置，从而预测函数极值点可能出现的范围。
例如，2017年全国三卷的一道题目要求考生讨论函数\(f(x) = \frac{1}{x} + \ln x\)的凸凹性，并求出参数a的值使得函数在区间[1, +∞)上恒有\(f(x) \geq 0\)。这类问题的解决需要考生理解凸凹性的定义和性质，将凸凹性与不等式结合应用，从而求解出参数的具体值。
再如，2015年天津的一道题目要求考生讨论函数\(f(x) = nx - x^n\)的单调性，并证明对于任意正实数x，有\(f(x) \leq g(x)\)，其中g(x)是函数y=f(x)在x轴正半轴的交点P处的切线方程。解决这个问题需要考生运用切线放缩的知识，结合凸凹性的分离性质来进行证明。
通过上述内容的分析，我们可以看出函数的凸凹性在高考数学的应用是多方面的，它不仅涉及到函数的基本性质，还与不等式、导数、积分等数学知识紧密相关。因此，掌握凸凹性的概念及其性质对于解决高考数学中的一些综合问题具有很大的帮助。
