全同态加密（Fully Homomorphic Encryption, FHE）是一种先进的加密技术，允许在密文上进行任意复杂的计算，而无需解密。FHEW（Fast HEM Cryptosystem with Worst-case to Average-case Reductions）是全同态加密库的一种实现，它提供了高效且安全的全同态加密方案。本文将探讨如何使用FHEW库来实现加法、连加法以及乘法操作。
我们来看加法操作。在FHEW中，加法是基于环结构的元素之间的加法运算。用户首先需要创建一个FHE上下文（context），该上下文包含了加密参数，如模数、阶数等。然后，用户可以生成一对公钥和私钥，公钥用于加密数据，私钥用于解密。加密过程涉及到将明文数据转化为环中的元素，然后应用加密函数。一旦两个密文被加密，它们就可以直接相加，因为FHE保证了加法的同态性。在FHEW库中，这个过程可以通过调用特定的API来完成，如`encrypt`和`add`函数。
接下来，我们讨论连加法。在实际应用中，可能需要对多个值进行连续的加法操作。FHEW库支持这种操作，因为每次加法都是同态的，所以可以将多个密文逐个相加，得到的结果仍然是有效的密文。在`addsuccessive.cpp`文件中，可能会包含这样的逻辑：首先加密一系列的数值，然后在一个循环中，将每个加密后的值添加到累加器密文中，从而实现连加。
我们来看看乘法操作。相对于加法，乘法在全同态加密中更为复杂，因为普通的环加法并不直接支持乘法。FHEW库通过一种称为“bootstrapping”的技术实现了乘法。Bootstrapping是一个自我解密的过程，它允许密文之间进行乘法运算，但代价较高。在`multiply.cpp`文件中，可能包含使用FHEW库的乘法函数，如`multiply`，来执行密文间的乘法，以及可能的bootstrapping步骤。
需要注意的是，由于全同态加密的复杂性和计算需求，实际的FHEW库实现通常会涉及到大量的预处理和优化，例如使用噪声预算来管理加密的稳定性和安全性。此外，FHEW库中的错误处理和性能优化也是关键部分，以确保在资源有限的环境中也能有效运行。
使用FHEW库实现加法、连加和乘法涉及理解FHE的基本原理，如环结构、公钥私钥生成、加密解密过程，以及bootstrapping技术。通过`add.cpp`、`addsuccessive.cpp`和`multiply.cpp`这三个源代码文件，我们可以深入学习这些概念，并观察如何在实际代码中应用它们。同时，由于作者提到这是他们的练习之作，可能存在一些不完善之处，所以交流和改进是提高理解和实践的关键。
