小波分析及应用
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2018-06-06
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第八章 小波分析理论及应用
第八章 小波分析及应用
8.1 引言
把函数分解成一系列简单基函数的表示，无论是在理论上，还是实际应用中都有重
要意义。
1822 年法国数学家傅里叶(J. Fourier 1768-1830)发表的研究热传导理论的“热的力学
分析”，提出并证明了将周期函数展开为正弦级数的原理，奠定了傅里叶级数理论的基
础
[1]
。傅里叶级数理论研究的是把函数在三角函数系下的展开，使得对信号和系统的研
究归结为对简单的三角函数的研究。傅里叶级数与傅里叶变换共同组成了平常所说的
傅里叶分析
[2]
。傅里叶级数用于分析周期性的函数或分布，理论分析时经常假定周期是
，定义如式(8.1-1)、(8.1-2)
， (8.1-1)
其中 (8.1-2)
然而，被分析函数的性质并不能完整地由傅里叶系数来刻划，这里有一个例子来说
明
[3]
：从任一个平方可和的函数 出发，为了得到一个连续函数 ，只需或者增
大 f(x)的傅里叶系数的模，或者保持它不变并适当地改变系数的位相。因此，不可能仅
根据傅里叶系数大小的阶就预知函数的性质（如大小、正则性）。
傅里叶变换的定义如式(8.1-3)、(8.1-4)
(8.1-3)
(8.1-4)
通过引入广义函数或分布的概念，可获得奇异函数（如冲击函数）的傅里叶变换的
存在。对于时域的常量函数，在频域将表现为冲击函数，表明具有很好的频域局部化
性质。由式(8.1-3)可知，为了得到 ，必须有关于 f(x)的过去和未来的所有知识，
而且 f(x)在时域局部值的变化会扩散到整个频域，也就是 的任意有限区域的信息
都不足以确定任意小区域的 f(x)。在时域，哈尔(Haar)基是一组具有最好的时域分辨能
力的正交基，它在时域上是完全局部化的，但在频域的局部化却很不好，这是由于哈
尔系的两个缺点：缺乏正则性与缺乏振动性。研究者们希望寻找关于空间变量（或时
间变量）与频域变量都同时好的希尔伯特(Hilbert)基，R. Balian 认为：“在通讯理论中，
人们对于在完全给定的时间内，把一个振动信号表示成由其中每一个都拥有足够确定
的位置与有一个频率的小波的叠加这件事感兴趣。事实上，有用的信息常常同时被发
射信号的频率与信号的时间结构（如音乐）所传递。当把一个信号表达成时间的函数
时，其中的频谱表现并不好；相反地，信号的傅里分析却显示不了信号每一分量发射
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