### 典型的数学建模案例分析:双层玻璃的功效问题 #### 一、引言 在《典型的数学建模案例》这本书的第二章中,作者通过一系列具有代表性的数学建模案例,向读者展示了如何运用数学建模解决实际问题的方法和过程。其中一个案例是关于双层玻璃窗户在北方城镇建筑中的保温效果分析。通过建立数学模型来定量分析双层玻璃减少热量损失的效果,本章节将详细介绍这一案例。 #### 二、案例背景 在北方城镇,冬季寒冷,为了保持室内温度并减少能源消耗,许多建筑物采用了双层玻璃窗户。这种设计能够有效地降低室内外温差导致的热量传递,从而达到保温的目的。本案例旨在通过数学建模的方法,给出双层玻璃减少热量损失的定量分析结果。 #### 三、模型准备 本案例涉及热量传播的形式以及温度变化等相关因素。通过检索相关资料得知,热量传导物理定律指出:对于厚度为\(h\)的均匀介质,两侧温度差为\(\Delta T\),单位时间内由温度高的一侧向温度低的一侧通过单位面积的热量\(Q\)与\(\Delta T\)成正比,与\(h\)成反比,即: \[Q = \lambda \frac{\Delta T}{h}\] 其中,\(\lambda\)为热导率。 #### 四、模型假设 为了简化问题并构建有效的数学模型,我们做出以下假设: 1. **室内热量传播只有传导形式**:不考虑对流、辐射等因素。 2. **室内温度与室外温度保持不变**:即单位时间内通过窗户单位面积的热量为常数。 3. **玻璃厚度一定且材料均匀**:即热导率为常数。 #### 五、模型构成 根据以上假设,我们可以构建模型来描述双层玻璃窗户的热量传递情况。模型中涉及到的关键参数包括: - \(h\):单层玻璃厚度; - \(T_1\):室内温度; - \(T_2\):室外温度; - \(T_a\):靠近内层玻璃的温度; - \(T_b\):靠近外层玻璃的温度; - \(d\):两层玻璃之间的距离; - \(\lambda_1\):玻璃热导率; - \(\lambda_2\):空气热导率。 #### 六、模型建立 对于中间有缝隙的双层玻璃,根据热量守恒原理,穿过内层玻璃的热量等于穿过中间空气层的热量,也等于穿过外层玻璃的热量。因此,可以得到以下方程组: \[Q = \lambda_1 \frac{T_1 - T_a}{h} = \lambda_2 \frac{T_a - T_b}{d} = \lambda_1 \frac{T_b - T_2}{h}\] 消去不易测量的\(T_a\)、\(T_b\),得到: \[Q = \lambda_1 \frac{T_1 - T_2}{h(\eta + 2)}\] 其中,\(\eta = \frac{d\lambda_1}{\lambda_2}\),\(h\)为玻璃厚度。 对于中间无缝隙的双层玻璃,则可以视为厚度为\(2h\)的单层玻璃,故有: \[Q' = \lambda_1 \frac{T_1 - T_2}{2h}\] 对比两种情况下的热量传递效率,我们发现: \[\frac{Q}{Q'} = \frac{2}{\eta + 2}\] 这意味着双层玻璃的保温性能优于单层玻璃,并且在特定条件下,其保温效果更加显著。 #### 七、定量结果分析 为了获得更具体的定量结果,我们需要考虑\(\eta\)的值。根据资料,常用玻璃的热导率范围为\(0.4\)到\(0.8 W/(m·K)\),而静止干燥空气的热导率约为\(0.025 W/(m·K)\)。取最保守的估计,有: \[\frac{\lambda_1}{\lambda_2} = 16, \quad \frac{Q}{Q'} = \frac{1}{8\eta + 1}\] 进一步地,当\(\eta \approx 4\)时,\(\frac{Q}{Q'} \approx 3\%\). 这意味着在最保守估计下,当玻璃之间的距离约为玻璃厚度的四倍时,双层玻璃的保温效果相较于单层玻璃提高了大约\(3\%\)。 #### 八、结论 通过对双层玻璃窗户保温效果的数学建模分析,我们得到了以下主要结论: 1. **双层玻璃的保温效果**:与单层玻璃相比,双层玻璃能够更有效地减少热量损失,提高保温性能。 2. **最佳设计方案**:在考虑到节约材料的前提下,建议玻璃之间的距离设置为玻璃厚度的大约四倍,这样可以在保持较好保温效果的同时避免浪费材料。 本案例不仅展示了数学建模在实际问题中的应用价值,也为建筑设计提供了科学依据。
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