计算机图形学之动画和模拟算法：刚体动力学与物理材质摩擦模型教程.docx

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计算机图形学之动画和模拟算法：刚体动力学与物理材质
摩擦模型教程
1 刚体动力学基础
1.1 刚体的概念与属性
在计算机图形学中，刚体（Rigid Body）是指在受力作用下，其内部任意两
点之间的距离保持不变的物体。这种模型简化了物体的物理特性，使其在动画
和模拟中更容易处理。刚体的主要属性包括：
� 质量（Mass）：物体的惯性大小，影响物体的加速度。
� 质心（Center of Mass）：物体质量的平均位置，用于计算物体的
运动。
� 转动惯量（Inertia Tensor）：描述物体抵抗转动的属性，与物体的
形状和质量分布有关。
� 线速度（Linear Velocity）：物体在空间中移动的速度。
� 角速度（Angular Velocity）：物体绕其轴旋转的速度。
1.2 刚体运动学方程
刚体的运动学方程描述了刚体位置和方向随时间的变化。在三维空间中，
刚体的位置可以用一个向量表示，而其方向可以用四元数或旋转矩阵表示。运
动学方程包括：
� 线性运动学方程：
p
(
t
)
=
p
0
+
v
t
� 角运动学方程：
q
(
t
)
=
q
0
+
ω
t
其中，
p
是位置向量，
v
是线速度，
q
是四元数表示的方向，
ω
是角速度。
1.3 刚体动力学方程
刚体动力学方程描述了力和力矩如何影响刚体的运动。在牛顿力学中，这
通常由牛顿第二定律和转动定律表示：
� 线性动力学方程：
=
m
a
� 角动力学方程：
τ
=
I
α
其中，
是作用在刚体上的总力，
a
是加速度，
τ
是作用在刚体上的总力矩，
α
是角加速度，
m
是质量，
I
是转动惯量矩阵。
2
1.3.1 代码示例：刚体动力学方程的数值求解
import numpy as np
#
刚体属性
mass = 1.0
inertia_tensor = np.diag([1.0, 1.0, 1.0])
position = np.array([0.0, 0.0, 0.0])
linear_velocity = np.array([1.0, 0.0, 0.0])
orientation = np.array([1.0, 0.0, 0.0, 0.0]) #
四元数表示
angular_velocity = np.array([0.0, 0.0, 1.0])
#
外力和力矩
force = np.array([0.0, 0.0, -9.81]) #
重力
torque = np.array([0.0, 0.0, 0.0])
#
时间步长
dt = 0.01
#
更新刚体状态
def update_rigid_body_state(mass, inertia_tensor, position, linear_velocity, orientation, angular
_velocity, force, torque, dt):
"""
使用欧拉方法更新刚体的状态。
"""
#
线性动力学方程
acceleration = force / mass
position += linear_velocity * dt
linear_velocity += acceleration * dt
#
角动力学方程
angular_acceleration = np.linalg.inv(inertia_tensor) @ torque
orientation += 0.5 * angular_velocity * dt
angular_velocity += angular_acceleration * dt
#
归一化四元数
orientation /= np.linalg.norm(orientation)
return position, linear_velocity, orientation, angular_velocity
#
更新状态
position, linear_velocity, orientation, angular_velocity = update_rigid_body_state(mass, inertia_t
ensor, position, linear_velocity, orientation, angular_velocity, force, torque, dt)
print("Updated Position:", position)
3
print("Updated Linear Velocity:", linear_velocity)
print("Updated Orientation:", orientation)
print("Updated Angular Velocity:", angular_velocity)
1.4 碰撞检测与响应基础
碰撞检测是确定两个或多个物体是否在空间中相交的过程。一旦检测到碰
撞，就需要计算碰撞响应，以确定碰撞后物体的运动状态。碰撞响应通常包括：
� 碰撞点的法线方向：用于确定碰撞力的方向。
� 碰撞前后的速度变化：根据物体的物理属性和碰撞类型计算。
� 摩擦力：影响物体碰撞后的滑动行为。
1.4.1 碰撞检测算法
常见的碰撞检测算法包括：
� 包围盒检测：使用简单的几何形状（如轴对齐包围盒或球体）来
近似物体，快速判断是否可能相交。
� 精确碰撞检测：在包围盒检测通过后，使用物体的真实几何形状
进行精确检测。
1.4.2 碰撞响应算法
碰撞响应算法通常基于动量守恒和能量守恒原则，计算碰撞后的速度和角
速度。例如，弹性碰撞的响应可以通过以下公式计算：
v
1
′
=
v
1
−
2
m
2
m
1
+
m
2
n
⋅
(
v
1
−
v
2
)
n
⋅
n
n
v
2
′
=
v
2
−
2
m
1
m
1
+
m
2
n
⋅
(
v
2
−
v
1
)
n
⋅
n
n
其中，
v
1
和
v
2
是碰撞前两个物体的速度，
v
1
′
和
v
2
′
是碰撞后的速度，
n
是碰撞
点的法线方向，
m
1
和
m
2
是两个物体的质量。
1.4.3 代码示例：弹性碰撞响应
def elastic_collision_response(mass1, mass2, velocity1, velocity2, normal):
"""
计算两个刚体之间的弹性碰撞响应。
"""
#
计算碰撞前后的速度变化
velocity1_after = velocity1 - (2 * mass2 / (mass1 + mass2)) * (normal.dot(velocity1 - velocity2))
/ (normal.dot(normal)) * normal
velocity2_after = velocity2 - (2 * mass1 / (mass1 + mass2)) * (normal.dot(velocity2 - velocity1))
/ (normal.dot(normal)) * normal
return velocity1_after, velocity2_after

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