压缩感知是一种颠覆传统信号处理理论的新方法,它挑战了香农/奈奎斯特采样定理,该定理指出为了无损地捕获一个信号,采样频率必须至少是信号带宽的两倍。在很多实际应用中,如高分辨率图像和视频摄像头,这种高采样率导致大量的数据需要在存储或传输前进行压缩。而在其他领域,如医疗成像设备和雷达系统,提升采样率的成本非常高昂。 压缩感知提出了一种新思路,允许以远低于奈奎斯特速率的速率进行信号采集。这种方法的核心是利用非适应线性预测来保留信号的结构,然后通过优化算法从这些非线性预测中重构信号。这一过程涉及线性代数、优化理论和概率论等基础知识。 在压缩感知中,一个信号可以视为一个在高维空间中由少数基向量组成的线性组合。如果信号可以用少量的基向量表示,那么它就是稀疏的。具体来说,一个长度为N的一维离散时间信号x可以用N×1维列向量s表示,其中s是基向量ψ的系数,满足x=∑i=1Nsiψi。如果信号仅由k个非零系数表示,而其他(N-K)个系数为零,那么信号就是k维稀疏的。 传统的变换编码方法是先对信号进行采样,然后通过舍弃小的系数来压缩数据,但这种方法存在效率低下的问题:样本数量可能过大,所有系数都需要计算,且大系数的位置需编码,引入额外开销。 压缩感知则直接获取压缩后的信号,通过线性测量过程y=φx=φψx=Θx来替代传统的采样和编码步骤。这里的测量矩阵φ是固定的,设计合适的φ能确保信号x可以从较少的测量值y中稳定地恢复。关键在于测量矩阵φ应具备“限制等距特性”(RIP),即对于所有具有相同k个非零元素的向量v,其长度能在一定范围内保持相对稳定。这可以通过选择随机矩阵φ来实现,以简化满足RIP条件的构造过程。 通过压缩感知,不仅可以降低数据采集的复杂性和成本,还能在一定程度上提高信号处理的效率,特别是在信号稀疏度很高的情况下。这种方法对数据采集、压缩和降维等领域的理论和实践产生了深远影响,广泛应用于数字信号处理、统计学和应用数学的教学及研究中。
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